设A是3×4矩阵，其秩为3。已知
为非齐次线性方程组
的两个不同的解，其中
，
。
（1）请用
构造
的一个解，并写出
的通解；（4分）
（2）求
的通解。（3分）
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简答题
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答案：
【解析】本题主要考查线性方程组的解。
解析：
本题主要考查线性方程组的解和矩阵的秩的性质。
对于（1）部分，根据线性方程组的解的性质，若α₁和α₂是两个不同的解，则它们的线性组合k₁α₁+k₂α₂（k₁和k₂为任意常数）也是该方程组的解。因此，β−α₁是方程组Ax=0的一个非零解。设γ为Ax=0的基础解系，即γ是Ax=0的解且线性无关，那么通解可以表示为：x=α₁+kγ，其中k为任意常数。
对于（2）部分，根据矩阵的秩的性质，矩阵A的秩为3，即Ax=0的基础解系所含解向量的个数为4-3=1，所以通解为：x=kγ，其中k为任意常数，γ是Ax=0的一个解。
创作类型：
原创
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