【喵呜刷题小喵解析】:本题考查极限的求法中的两个常见公式。根据极限的运算法则,当$x$趋近于$0$时,$\frac{\sin x}{x}$的极限值为$1$。因此,当$x$趋近于$0$时,$\frac{\sin x}{x} - 1$的极限值为$0$。所以,选项B是正确的。