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首先求函数 $f(x) = (x^2 + a)e^x$ 的一阶导数 $f’(x)$ 和二阶导数 $f''(x)$。
$f’(x) = (2x + a)e^x + (x^2 + a)e^x = (x^2 + 2x + a)e^x$
$f''(x) = (2x + 2)e^x + (x^2 + 2x + a)e^x = (x^2 + 4x + 2 + a)e^x$
由于 $f(x)$ 没有极值点,因此其一阶导数 $f’(x)$ 不能改变符号。这意味着 $f’(x)$ 要么总是正的,要么总是负的。从 $f’(x)$ 的表达式可以看出,当 $a \geq -1$ 时,导数总是非负的。但由于曲线 $y = f(x)$ 有拐点,二阶导数 $f''(x)$ 必须在某点改变符号。因此我们需要找到 $a$ 的取值范围使得二阶导数有变号的零点。令 $f''(x) = 0$ 解得 $a = -2$。由于拐点要求二阶导数从正变为负或从负变为正,因此 $a$ 的取值应满足 $-2 < a < -1$ 或 $a > 1$。结合这两个条件,得到 $a$ 的取值范围是 $[1, 2)$。因此正确答案是 C。
本文链接:设函数f(x)=(x2+a)ex,若f(x)没有极值点,但曲线y=f(x)有拐点,则a的取值范围是(
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