给定相互独立的随机变量X₁，X₂，…，X_n均服从N(μ，σ^2)，考察以下三个问题： （Ⅰ）求线性组合Y₁ = a₁X₁ + a₂X₂ + … + a_nX_n的概率密度； （Ⅱ）利用一阶矩估计法求σ的估计量； （Ⅲ）求EY和DY。

（Ⅰ）首先我们知道随机变量$X_{i}$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，则对于线性组合$Y_{1} = \sum_{i = 1}^{n}{aX_{i}}$，其概率密度函数可以通过定义法求得。由于正态分布具有可加性，我们可以得到$Y_{1}$的概率密度函数为$f_{Y_{1}}(y) = \frac{y}{\sigma^{n}\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{y^{2}}{2\sigma^{2}})$。
（Ⅱ）对于求$\sigma$的矩估计量，我们可以利用一阶矩的性质进行求解。由于样本均值${\overset{\hat{}}{X}}{n}$是总体均值$\mu$的矩估计量，我们可以通过计算$EY{n}$（即${\overset{\hat{}}{X}}{n}$的期望）来求解$\sigma$的矩估计量。具体求解过程为：$\overset{\hat{}}{\sigma} = \frac{\sqrt{\frac{1}{n}\sum{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overset{\hat{}}{Y})}^{2}}}{\sqrt{\frac{EY_{n}}{n}}}$。这样我们就得到了$\sigma$的矩估计量。
（Ⅲ）对于求$EY$和$DY$，我们可以利用正态分布的性质进行求解。由于正态分布随机变量的平方和仍然服从正态分布，我们可以得到$EY = n\mu^{2}$和$DY = n\sigma^{2}$。