根据题目给出的函数图像，函数在指定点连续且可导。因此，选项D“可导”是正确的。选项A“极限不存在”和选项E“极限存在但不连续”都与题目的条件不符，因为函数在该点既有极限又是连续的。选项B“连续不可导”通常指的是在某些特定点上虽然函数连续，但不可导，这与题目描述的情况也不符。选项C“是否连续g(x)有关”表述不够明确，且与题目的具体要求不相关。因此，正确答案是D。