设函数f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(1)=4f(2)，证明：存在ξ∈(1，2)。使得2f(ξ)+ξf'(ξ)=0．

第一步，根据题目已知条件，函数f(x)在区间[1，2]上连续，在(1，2)内可导。因此我们可以构造一个新的函数g(x)=x^2f(x)，该函数在[1，2]上连续，在(1，2)内可导。
第二步，计算g(x)的导数，得到g’(x)=2xf(x)+x^2f’(x)。
第三步，根据已知条件f(1)=4f(2)，可以推出g(1)=f(1)=4f(2)=g(2)。
第四步，根据罗尔中值定理，如果在闭区间[a,b]上的函数g(x)满足以下条件：函数在区间上连续，在区间内部可导，并且在区间的两个端点取值相同，那么必定存在至少一个位于区间内部的点ξ，使得函数在该点的导数为零。即g’(ξ)=0。由于我们构造的g(x)满足这些条件，所以存在ξ∈(1，2)，使得g’(ξ)=0。
第五步，将g’(ξ)=0展开得到2ξf(ξ)+ξ^2f’(ξ)=0，这正是我们需要证明的式子。所以证明存在ξ∈(1，2)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0。