一、单选题
1、若函数f(x)=在x=0处可导，则a,b的值是（ ）。
A a=2,b=1
B a=1,b=2
C a=-2,b=1
D a=2,b=-1
答案解析：
因为函数在x=0处可导，可知其在x=0处连续，则有
，即
。函数在x=0处可导，则函数在x=0处的左导数等于右导数，
=a，
，即a=2，故本题选A。
2、若函数f(x)=的一阶导数函数在x=0处连续，正整数n的取值是（ ）。
A n≥3
B n=2
C n=1
D n=0
答案解析：
根据题意先进行求导得：
，根据一阶导在x=0处连续可知，
所以
，故
。
3、已知点M1（1,2，-1），M2(1,3,0)，若平面过点M1且垂直于M1M2，则平面：6x+y+18z-18=0与平面的夹角是（ ）。
A
B
C
D
答案解析：
根据平面
过M1 且垂直于M1 M2得平面
的法向量为n1=
=(0,1,1),根据平面
的一般方程，可知其法向量为n2=(6,1,18),所以根据平面间的夹角公式可以得出所求的夹角的余弦值为
，故选择B。
4、向量a,b,c满足a+b+c=0,那么a×b=（ ）。
A b×a
B c×b
C b×c
D a×a
答案解析：
由己知的a+b+c=0得a=-b-c，那么根据叉乘运算法则得axb=(-b-c)xb=-bxb-cxb=-cxb=bxc,故本题选C。
5、设n阶方阵M的秩r(M)=r＜n,则在M的n个行向量中（ ）。
A 任意一个行向量均可由其它r个行向量线性表示.
B 任意r个行向量均可构成极大无关组
C 任意r个行向量均线性无关
D 必有r个行向量线性无关
答案解析：
根据r(M)=r可知，该矩阵M的极大线性无关组向量的个数为r，行向量反映的性质和列向量反映的性质相似，可举一个反例(a1, a2,a3)=
，从列向量角度可得a1不可以由a2,a3线性表示，排除a1,a2,a3线性相关，不能构成极大无关组，排除B, C而D选项描述正确，故本题选D。
6、下列变换中关于直线y=x的反射变换是（ ）。
A
B
C
D
答案解析：
设P（x,y）关于直线y=x的对称点为P’(x’,y’)变换矩阵为M。
则
，解得
，所以
，M=
。
7、下列对向量学习意义的描述：①有助于学生体会数学与现实生活和其他学科的联系。②有助于学生理解数学运算的意义价值，发展运算能力。③有助于学生掌握处理几何问题的一种方法，体会数形结合思想。④有助于学生理解数学不同内容之间存在广泛的联系。其中正确的共有（ ）。
A 1条
B 2条
C 3条
D 4条
答案解析：
向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。向量既是代数研究对象也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁。向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥重要作用。本单元的学习可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义，掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用，用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题，故本题选D。
8、数学归纳法的推理方式属于（ ）。
A 归纳推理
B 演绎推理
C 类比推理
D 合情推理
答案解析：
数学归纳法是一种证明命题的方法，是一种演绎推理方法，它的基本思想是递推思想。故本题选B。
二、简答题
9、已知变换，其中变换矩阵A=，B=。（1）写出椭圆=1在该变换下的曲线方程；（5分）（2）举列说明在该变换下什么性质保持不变，什么性质发生变化（例如距离、斜率、相交等）。（2分）
正确答案：
（1）设
，已知
，A=
，B=
，则
，解得
，即
，将
代入椭圆方程得
，化简得
。
（2）以第一问中的椭圆方程为例，在该变化下得到的新方程是圆的标准方程，其中图形的大小、形状、几何中心的位置都发生了变化。但依旧是中心对称图形，同时依旧是轴对称图形。
答案解析：
本题主要考查线性变换。
10、已知f(x)=lnx(x>0),g(x)=(x-1)。（1）求曲线y=f(x)与g(x)所围成平面图形的面积；（2）求平面图形0f(x)，1≤x≤3绕y轴旋转一周得到的旋转体体积。
正确答案：
（1）由lnx=
(x-1),得
=5，
=1.
dx=
=3ln5-4。
（2）由题意可得绕y轴旋转一周得到的旋转体积。V=2π
=2π
V=2π
=2π
=9πln3-4π。
答案解析：
本题考查旋转体体积。
11、一个袋子里有8个黑球，8个白球，随机不放回地连续取球五次。每次取出1个球，求最多取到3个白球的概率。
正确答案：
由题可知随机不放回地连续取球5次，设“最多取到3个白球”为事件 A，那么它的对立面“取到4个白球1个黑球或者5个白球”，
取得4个白球1个黑球的概率为
取得5个白球的概率为
所以“最多取到3个白球”的事件概率为1- 
。
答案解析：
本题主要考查概率的求解。
12、数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展，还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。请你给出数学教学中融入数学文化的两个事例。
正确答案：
数学是一门与概念、定理、公式相关的学科，教师在数学教学中渗透数学文化、设置与教学内容相关的且蕴含在现实生活中的数学文化、引导学生思考其中所隐含的数学知识和规律，对学生的数学学习具有巨大的帮助。例如:
（1）在学习《整数和负数》时，“负数” 概念对学生来说相对抽象。教师可以在教学中渗透数学文化史：中国是最早提出负数的国家，《九章算术》 是最早、最完整介绍负数的古书，人们在求解方程时经常会遇到小数减大数的情形，为便于求解，便创造了负数；在古代为区分正负数，数学家创造了一种方法：用不同颜色的算筹来表示正、负数；中国古代不仅提出了负数的概念，还提出了整套的正、负数的运算法则，这些法则沿用至今。教师在教学中融入数学文化，让学生了解概念产生的背景和意义，利用概念与生活的相通性可以帮助学生更直观地理解概念。
（2）在教学《勾股定理》时，可以从毕达哥拉斯到朋友家做客的故事入手：毕达哥拉斯是古希腊最为著名的数学家之一，相传2500年前，他到朋友家做客，发现朋友家用地板砖铺成的地面反映出了直角三角形的三边关系。毕达哥拉斯发现直角三角形的三边关系的故事为《勾股定理》的教学提供了问题引入，学生通过思考故事中隐含的规律，从而进行猜想假设，再加上教师的演示将定理变得具体形象，学生能够更容易地总结出直角三角形的三边关系，即勾股定理。探究勾股定理相关的数学文化史的过程蕴含了丰富的数学思想方法，这对学生理解定理极为有利。将数学文化渗透到数学教学中，将教材内容与数学文化巧妙结合起来，从数学文化中延伸出数学概念和规律，可以帮助学生理解相关内容。数学文化中蕴含的故事具有较强的趣味性，还可以激发学生的学习兴趣。
答案解析：
本题主要考查数学文化。
13、简述数学建模的主要过程。
正确答案：
建立恰当或者优化的数学模型是解决具有现实背景的问题解决教学的关键环节。
（1）模型准备。了解该问题的实际背景和建模目的，明确其实际意义，通过互联网或图书馆查找搜集与建模要求有关的资料和信息，用数学语言来描述问题。
（2）模型假设。根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，把实际问题变为数学问题，并用精确的语言提出假设。模型假设直接关系到建模结果。在整个建模过程中，模型假设还可做调整。
（3）模型建立。在假设的基础上，利用适当的数学理论、方法刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学模型。在保证精度的条件下，建立的模型应该尽量简洁与简单。
（4）模型求解。采用解方程、推理、图解、定理证明等方法对模型进行求解。
（5）模型分析与检验。对模型进行分析，并将模型分析结果与实际情形进行比较。如果模型与实际较吻合，则要对数学模型的结果，回归实际问题，做出实际意义的解释。如果模型与实际吻合不佳，则应该修改假设，再次重复建模过程。
答案解析：
本题主要考查数学建模的主要过程。
三、解答题
f(x)在
上连续，f(a)·f(b)<0,
14、请用二分法证明：f(x)=0在上至少有一个根。
正确答案：
先将
二等分为
，
，若
则结论成立，若f
则
f(a)和f(b)中必然有一个与
异号，记这个区间为
，它满足f(a)·f(b)<0且区间长度为b1-a1=
。
再将[a1,b1]二等分
，
，若
结论成立，若
则f （a1）和f(b1)中必然有一个与
异号，记这个小区间为[a2,b2]，它满足[a2,b2]
[a1,b1]
，b2-a2=
且f(a)·f(b)<0
采用二分法不断进行下去，可能出现两种情况
（1）在某一区间的中点c1上有f(c1)=0，结论成立。
（2）在任意区间中点c1上均有f(c1) ≠0，则得到闭区间
，它满足
，
，m=1,2，...，
。
由区间套定理，存在点x0
，m=1,2,...，则结论成立；若f(x0) ≠0不妨设f(x0)>0,则由局部保号性，知存在
（x0，
）使得f(x0)>0，根据区间套定理的推论，当m充分大时有
（x0，），因而有
＞0,这与相矛盾，故必有
f(x0)=0，x0
综上所述，f(x)在
连续，f(a)·f(b)<0,则f(x)=0在上至少有一个根。
答案解析：
本题主要考查二分法。
四、简答题
15、现在数学教学中缺乏数学思维，谈谈你的想法？
正确答案：
现代教育观点认为,数学教学活动是数学活动的教学，即思维活动的教学。孔子说 :“学而不思则罔，思而不学则殆”，养成良好的思维品质是教学改革中的一个重要课题，在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，在如今的教育体制之下灌输式教学还是很常见，从而忽视了对学生学习思维的培养，这对于学生创新能力的培养是极其不利的，因此在教育体制改革的趋势之下，我们不仅要重视学生基本知识和基本技能的学习，更应该注重学生思维品质的培养。心理学家认为，培养学生的数学思维品质是培养和发展数学能力的突破口。思维品质包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性和创造性，它们反映了思维的不同方面的特征，因此在教学过程中应该有不同的培养手段。思维的深刻性既是数学的性质决定了数学教学既要以学生为基础，又要培养学生的思维深刻性。数学思维的深刻性品质的差异集中体现了学生数学能力的差异，教学中培养学生数学思维的深刻性，实际上就是培养学生的数学能力。数学教学中应当教育学生学会透过现象看本质，学会全面地思考问题，养成追根究底的习惯。数学思维的敏捷性主要反映了正确前提下的速度问题。因此，数学教学中，一方面可以考虑训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度。因为所掌握的知识越本质、抽象程度越高，其适应的范围就越广泛，检索的速度也就越快。另外，运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异，而且还有运算习惯以及思维概括能力的差异。因此，数学教学中，应当时刻向学生提出速度方面的要求，使学生掌握速算的要领。为了培养学生的思维灵活性，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。教学实践表明，变式教学对于培养学生思维的灵活性有很大作用。
答案解析：
本题主要考查数学思维。
五、案例分析题
在学习了“直线与圆的位置关系”后，教师要求学生解决如下问题：求过点P(2,3)且与圆
相切的直线L的方程。一位学生给出的解法如下:
知，圆心O（1,0），半径为1，
设直线L的斜率为k,则其方程为y-3=k(x- 2),即kx-y-2k+3=0因为直线L与圆
相切，
所以圆心O到直线的距离为d=
=1，解得k=
。
所以，所求直线的方程为4x-3y+1=0 问题：
16、（1）指出该解法的错误之处，分析错误原因，并给出两种正确解法；（2）针对该题的教学，谈谈该如何设置问题，帮助学生避免出现上述错误。
正确答案：
（1）该同学的解法没有考虑直线L斜率不存在的情况，没有掌握数学当中分类讨论的思想和斜率的定义。
正确解法①如上同学做题步骤，且讨论当斜率不存在时，直线L方程为x=2符合题意;
②第二种做法可以先求出切点坐标，然后再求方程，易知切点为(
)，在考虑切线斜率不存在情况，可得切线方程为4x-3y+1=0或x=2。
（2）由于学生对圆与直线的位置关系考虑不全面，针对该题，我们可以采用分类讨论的思想进行问题的设置，引导学生从直线的斜率和直线与圆的切点进行考虑，同时可以启发学生进行作图辅导解题，这样就不会遗漏情况。
答案解析：
本题主要考查问题的设置以避免学生出错。
六、教学设计题
请针对“导数的概念及其意义”，以达到学习要求①为目的，完成下列教学设计:
17、(1)写出教学目标; (6分)(2)写出教学过程(只要求写出新课导入，概念的形成与巩固等过程)及设计意图。(24分 )
正确答案：
（1）教学目标知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数，掌握求导数的基本步骤,初步学会求解.简单函数在一点处的切线方程。过程与方法目标通过动手计算培养观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。情感态度与价值观经历数学发现过程，感受数学研究方法，提升数学学习的兴趣和信念。
（2）教学过程
一、设置问题情境
生活中有一些现象值得我们去研究，比如，子弹离开枪管那一瞬间的速度，奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。科学上对瞬时速度的研究也是非常有必要的，比如在天宫一号与神州八号的成功对接，最关键的就是它们每个瞬间的速度都相等。
(设计意图:自然引出瞬时速度的定义，激发学生对瞬时速度的求知欲)
而在去年6月份，震惊全国的南京宝马车肇事案中，车辆经过事发路口时候，车速达195. 2km/h。南京交警是怎么鉴定这个速度的呢?从一份鉴定报告书中，我们可以看到，监控视频的两次抓拍的过程中，汽车移动的距离是3. 615m，时间间隔为
秒。通过计算，发现交警鉴定的速度是用位移除以时间。那么，交警的这种用平均速度来计算瞬时速度的方法合理吗?为什么?
(设计意图:引导学生，当时间间隔非常小，平均速度与瞬时速度就极为接近，从而为探求瞬时速度埋下伏笔)
二、问题情境，数学探究。
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h (单位: m)与起跳后的时间t(单位: s )存在函数关系h=-4.9 t2+6.5t+10，求t =2时的瞬时速度。
问题1、能否借助南京交警的测速方法，来解诀这个问题?
(设计意图:引导学生屺知探求未知，激发学生学习热情)
t在[2,2.1]，[2, 2.01]，[2, 2.001]内的平均速度分别是多少?
要使得到的瞬时速度更精确，时间的间隔就要很小，那繁琐的计算，能否引进一个量，使其得到简化?
以上三个式子可以统一写成
通过计算器的终端控制系统，读取学生的实验结果。
问题2、当
趋向于0时，平均速度有怎样的变化趋势？
学生通过观察发现，t=2时刻，
趋向于0平均速度趋于一个确定的值。
总结这个确定的值即瞬时速度，为了更明确的表达趋近过程，可用极限的思想来表示，即
(设计意图，利用极限思想，将函数表达式抽象化)
三、模型建构
问题3、如果挌以上向題中的函数用f(x)来表示x=x。处瞬吋変化率该如何表示？
引导学生写出f(x)来表示x=x0 处的瞬肘変化率可表示
，
总结：我们就把这个瞬时变化率称为导数。
（设计意图）由平均变化率到瞬时变化率，再由平均变化瞬时变化率，符合学生的认知的过程。四、导数的几何意义
介绍导数的小故事:导数是微积分的核心内容之一。在17世纪，英国的物里学家牛顿与德国的几何学家莱布尼茨在不同的国度不同的领域创立了微积分。牛顿从运动学，即瞬时速度的方向研究，莱布尼茨则是在几何学角度去研究。莱布尼茨是研究的方向是怎样的呢?
问题4、我们已经知道，
时，有
→常数A，这是从代数的角度来刻画的，那么是不是可以从几何的角度来加以描述?
学生用图形计算器在几何学的APP中进行操作，探索时，的无限逼近值的几何意义
总结概括：函数在点
处存在导数时，几何意义：函数在改点处的切线斜率。
五、应用拓展
进行例题讲解，感受导数的几何意义。
六、小结
回顾所学的哪些内容：
1.导数概念的形成过程
2.导数的求导步骤
3.几何意义
七、板书
答案解析：
本题主要考查教学过程的设计。
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