一、实操题
1、旅行
【问题描述】
小 Y 是一个爱好旅行的 OIer。她来到 X 国，打算将各个城市都玩一遍。
小 Y 了解到，X 国的n 个城市之间有 m 条双向道路。每条双向道路连接两个城市。不存在两条连接同一对城市的道路，也不存在一条连接一个城市和它本身的道路。并且，从任意一个城市出发，通过这些道路都可以到达任意一个其他城市。小 Y 只能通过这些道路从一个城市前往另一个城市。
小 Y 的旅行方案是这样的：任意选定一个城市作为起点，然后从起点开始，每次可以选择一条与当前城市相连的道路，走向一个没有去过的城市，或者沿着第一次访问该城市时经过的道路后退到上一个城市。当小 Y 回到起点时，她可以选择结束这次旅行或继续旅行。需要注意的是，小 Y 要求在旅行方案中，每个城市都被访问到。
为了让自己的旅行更有意义，小 Y 决定在每到达一个新的城市（包括起点）时，将它的编号记录下来。她知道这样会形成一个长度为n 的序列。她希望这个序列的字典序最小，你能帮帮她吗？
对于两个长度均为 n 的序列 A 和 B，当且仅当存在一个正整数 x，满足以下条件时，我们说序列 A 的字典序小于 B。
⚫ 对于任意正整数 1 ≤ i < x，序列 A 的第 i 个元素 Ai 和序列 B 的第 i 个元素Bi 相同。
⚫ 序列 A 的第 x 个元素的值小于序列 B 的第 x 个元素的值。
【输入格式】
输入文件名为 travel.in。
输入文件共 m + 1 行。第一行包含两个整数 n, m(m ≤ n) ，中间用一个空格分隔。
接下来 m 行，每行包含两个整数 u, v (1 ≤ u, v ≤ n) ，表示编号为 u 和 v 的城市之间有一条道路，两个整数之间用一个空格分隔。
【输出格式】
输出文件名为 travel.out。
输出文件包含一行，n 个整数，表示字典序最小的序列。相邻两个整数之间用一个空格分隔。
【输入输出样例 1】
【输入输出样例 2】
【数据规模与约定】
对于 100% 的数据和所有样例，1 ≤ n ≤ 5000 且 m = n − 1 或 m = n 。
对于不同的测试点，我们约定数据的规模如下：
参考答案：对于本题，我们可以使用拓扑排序算法来解决。首先，我们需要构建出图的邻接表表示，然后对每个节点的入度进行统计。由于每个城市都能通过道路到达其他城市，因此，对于入度为0的节点，我们可以按照任意顺序进行访问，使得整个序列的字典序最小。具体的，我们可以按照邻接表的顺序进行拓扑排序，如果当前节点没有被访问过，且其入度为0，则将其加入结果序列中，并将其所有邻居的入度减1。重复这个过程，直到所有的节点都被访问过。
2、 填数游戏
【问题描述】
小 D 特别喜欢玩游戏。这一天，他在玩一款填数游戏。
这个填数游戏的棋盘是一个n × m的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字（数字 0 或者数字 1），填数时需要满足一些限制。
下面我们来具体描述这些限制。
为了方便描述，我们先给出一些定义：
• 我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子，即（行坐标，列坐标）。（注意：行列坐标均从 0 开始编号）
• 合法路径 P：一条路径是合法的当且仅当：
1. 这条路径从矩形表格的左上角的格子(0,0)出发，到矩形的右下角格子(n − 1, m − 1)结束；
2. 在这条路径中，每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子，或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。
例如：在下面这个矩形中，只有两条路径是合法的，它们分别是p1：(0,0) → (0,1) →(1,1)和p2：(0,0) → (1,0) → (1,1)。
对于一条合法的路径 P，我们可以用一个字符串w(P)来表示，该字符串的长度为n +m − 2，其中只包含字符“R”或者字符“D”，第 i 个字符记录了路径 P 中第 i 步的移动方法，“R”表示移动到当前格子右边与它相邻的格子，“D”表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如，上图中对于路径p1，有w(P1) = "RD"；而对于另一条路径p2，有w(P2) = "DR"。
同时，将每条合法路径 P 经过的每个格子上填入的数字依次连接后，会得到一个长度为n + m − 1的 01 字符串，记为 s(P)。例如，如果我们在格子(0,0)和(1,0)上填入数字0，在格子(0,1)和(1,1)上填入数字 1（见上图红色数字）。那么对于路径p1，我们可以得到s(P1) = "011",对于路径p2，有s(P2) = "001"。
游戏要求小 D 找到一种填数字 0、1 的方法，使得对于两条路径p1，P2，如果w(P1) >w(P2)，那么必须s(P1) ≤ s(P2)。我们说字符串 a 比字符串 b 小，当且仅当字符串 a 的字典序小于字符串 b 的字典序，字典序的定义详见第一题。但是仅仅是找一种方法无法满足小 D 的好奇心，小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法，也就是说，有多少种填数字的方法满足游戏的要求？
小 D 能力有限，希望你帮助他解决这个问题，即有多少种填 0、1 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大，你需要输出答案对109 + 7取模的结果。
【输入格式】
输入文件名为 game.in。
输入文件共一行，包含两个正整数 n、m，由一个空格分隔，表示矩形的大小。其中 n 表示矩形表格的行数，m 表示矩形表格的列数。
【输出格式】
输出文件名为 game.out。
输出共一行，包含一个正整数，表示有多少种填 0、1 的方法能满足游戏的要求。
注意：输出答案对 10^9+7 取模的结果。
【输入输出样例 1】
【样例解释】
对于2 × 2棋盘，有上图所示的 12 种填数方法满足要求。
【输入输出样例 2】
【输入输出样例 3】
【数据规模与约定】
参考答案：```#include
3、保卫王国
【问题描述】
Z 国有n座城市，n − 1条双向道路，每条双向道路连接两座城市，且任意两座城市都能通过若干条道路相互到达。
Z 国的国防部长小 Z 要在城市中驻扎军队。驻扎军队需要满足如下几个条件：
一座城市可以驻扎一支军队，也可以不驻扎军队。
由道路直接连接的两座城市中至少要有一座城市驻扎军队。
在城市里驻扎军队会产生花费，在编号为i的城市中驻扎军队的花费是pi。
小 Z 很快就规划出了一种驻扎军队的方案，使总花费最小。但是国王又给小 Z 提出了m个要求，每个要求规定了其中两座城市是否驻扎军队。小 Z 需要针对每个要求逐一给出回答。具体而言，如果国王提出的第j个要求能够满足上述驻扎条件（不需要考虑第 j 个要求之外的其它要求），则需要给出在此要求前提下驻扎军队的最小开销。如果国王提出的第j个要求无法满足，则需要输出-1 (1 ≤ j ≤ m)。现在请你来帮助小 Z。
【输入格式】
输入文件名为 defense.in。
第 1 行包含两个正整数n, m和一个字符串type，分别表示城市数、要求数和数据类型。type是一个由大写字母 A，B 或 C 和一个数字 1，2，3 组成的字符串。它可以帮助你获得部分分。你可能不需要用到这个参数。这个参数的含义在【数据规模与约定】中有具体的描述。
第2行n个整数pi，表示编号i的城市中驻扎军队的花费。
接下来n − 1行，每行两个正整数u, v，表示有一条u到v的双向道路。
接下来m行，第j行四个整数a, x, b, y(a ≠ b)，表示第j个要求是在城市a驻扎x支军队，在城市b驻扎y支军队。其中，x 、 y 的取值只有 0 或 1：若 x 为 0，表示城市 a 不得驻扎军队，若 x 为 1，表示城市 a 必须驻扎军队；若 y 为 0，表示城市 b 不得驻扎军队，若 y 为 1，表示城市 b 必须驻扎军队。
输入文件中每一行相邻的两个数据之间均用一个空格分隔。
【输出格式】
输出文件名为 defense.out。
输出共m行，每行包含 1 个整数，第j行表示在满足国王第j个要求时的最小开销，如果无法满足国王的第j个要求，则该行输出-1。
【输入输出样例 1】
【样例解释】
对于第一个要求，在 4 号和 5 号城市驻扎军队时开销最小。
对于第二个要求，在 1 号、2 号、3 号城市驻扎军队时开销最小。
第三个要求是无法满足的，因为在 1 号、5 号城市都不驻扎军队就意味着由道路直接连
接的两座城市中都没有驻扎军队。
【数据规模与约定】
对于 100%的数据，n, m ≤ 300000,1 ≤ pi ≤ 100000。
数据类型的含义：
A：城市i与城市i + 1直接相连。
B：任意城市与城市 1 的距离不超过 100（距离定义为最短路径上边的数量），即如果这棵树以 1 号城市为根，深度不超过 100。
C：在树的形态上无特殊约束。
1：询问时保证a = 1, x = 1，即要求在城市 1 驻军。对b, y没有限制。
2：询问时保证a, b是相邻的（由一条道路直接连通）
3：在询问上无特殊约束。
参考答案：根据题目描述，我们需要首先建立城市的树状结构，然后根据国王的要求逐一计算驻扎军队的最小开销。由于城市的数量可能很大，直接计算所有可能的驻扎方案是不现实的。因此，我们可以使用动态规划的思想，通过逐步更新驻扎军队的状态来找到最小开销。具体的解题思路如下：1. 根据输入的城市和道路信息，建立城市的树状结构。可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来实现。2. 对于每个城市，我们可以定义两个状态：驻扎军队和不驻扎军队。对于每个状态，我们可以计算驻扎军队的最小开销。3. 对于每个要求，我们可以根据要求中的信息更新驻扎军队的状态。如果要求中指定了某座城市必须驻扎军队，则将该城市的状态设置为驻扎军队；如果指定了某座城市不得驻扎军队，则将该城市的状态设置为不驻扎军队。4. 对于更新后的状态，我们可以使用动态规划的思想，从根节点开始逐步更新每个城市的最小开销。具体地，对于每个城市，我们可以计算其驻扎军队的最小开销和不驻扎军队的最小开销，然后取两者中的较小值作为该城市的最小开销。5. 对于每个要求，我们可以根据更新后的状态计算驻扎军队的最小开销。如果要求中指定的状态无法满足，则输出-1；否则，输出驻扎军队的最小开销。需要注意的是，由于城市的数量可能很大，直接计算所有可能的驻扎方案是不现实的。因此，我们需要使用动态规划的思想来优化计算过程，降低时间复杂度。同时，我们还需要注意数据类型的限制，根据数据类型的不同，我们可以采用不同的算法或策略来解决问题。
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