一、实操题
1、跳石头
【问题描述】
一年一度的“跳石头”比赛又要开始了！这项比赛将在一条笔直的河道中进行，河道中分布着一些巨大岩石。组委会已经选择好了两块岩石作为比赛起点和终点。在起点和终点之间，有 N 块岩石（不含起点和终点的岩石）。在比赛过程中，选手们将从起点出发，每一步跳向相邻的岩石，直至到达终点。
为了提高比赛难度，组委会计划移走一些岩石，使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。由于预算限制，组委会至多从起点和终点之间移走 M 块岩石（不能移走起点和终点的岩石）。
【输入格式】
输入文件名为 stone.in。
输入文件第一行包含三个整数 L，N，M，分别表示起点到终点的距离，起点和终点之间的岩石数，以及组委会至多移走的岩石数。
接下来 N 行，每行一个整数，第 i 行的整数 Di（0 < Di < L）表示第 i 块岩石与起点的距离。这些岩石按与起点距离从小到大的顺序给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。
【输出格式】
输出文件名为 stone.out。
输出文件只包含一个整数，即最短跳跃距离的最大值。
【输入输出样例 1】
【输入输出样例 1 说明】
将与起点距离为 2 和 14 的两个岩石移走后，最短的跳跃距离为 4（从与起点距离17 的岩石跳到距离 21 的岩石，或者从距离 21 的岩石跳到终点）。
【数据规模与约定】
对于 20%的数据，0 ≤ M ≤ N ≤ 10。
对于 50%的数据，0 ≤ M ≤ N ≤ 100。
对于 100%的数据，0 ≤ M ≤ N ≤ 50,000，1 ≤ L ≤ 1,000,000,000。
参考答案：对于这个问题，我们可以使用贪心算法来解决。首先，我们需要找到所有岩石之间的空隙，这些空隙是岩石与岩石之间的距离。然后，我们将这些空隙按照从小到大的顺序进行排序。接下来，我们从最大的空隙开始，尽量选择填满这些空隙，直到填满M个空隙或者达到终点。在填充空隙的过程中，我们需要保证每一步跳跃的距离尽可能大，因此我们应该优先填充较大的空隙。最后，我们返回最大的跳跃距离。
2、子串
【问题描述】
有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。现在要从字符串 A 中取出 k 个互不重叠的非空子串，然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串，请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等？注意：子串取出的位置不同也认为是不同的方案。
【输入格式】
输入文件名为 substring.in。
第一行是三个正整数 n，m，k，分别表示字符串 A 的长度，字符串 B 的长度，以及问题描述中所提到的 k，每两个整数之间用一个空格隔开。
第二行包含一个长度为 n 的字符串，表示字符串 A。
第三行包含一个长度为 m 的字符串，表示字符串 B。
【输出格式】
输出文件名为 substring.out。
输出共一行，包含一个整数，表示所求方案数。由于答案可能很大，所以这里要求输出答案对 1,000,000,007 取模的结果。
【输入输出样例 1】
【输入输出样例 2】
【输入输出样例 3】
【输入输出样例说明】
所有合法方案如下：（加下划线的部分表示取出的子串）
样例 1：aab aab / aab aab
样例 2：a ab aab / a aba ab / a a ba ab / aab a abaa b aab / aa baa b / aab aa b
样例 3：a a b aab / a a baa b / a ab a a b / a aba a ba a b a a b / a a ba a b / aab a a b
【数据规模与约定】
对于第 1 组数据：1≤n≤500，1≤m≤50，k=1；
对于第 2 组至第 3 组数据：1≤n≤500，1≤m≤50，k=2；
对于第 4 组至第 5 组数据：1≤n≤500，1≤m≤50，k=m；
对于第 1 组至第 7 组数据：1≤n≤500，1≤m≤50，1≤k≤m；
对于第 1 组至第 9 组数据：1≤n≤1000，1≤m≤100，1≤k≤m；
对于所有 10 组数据：1≤n≤1000，1≤m≤200，1≤k≤m。
参考答案：对于这个问题，我们可以使用动态规划来解决。首先，我们需要定义一个二维数组dp[i][j]，其中dp[i][j]表示在字符串A的前i个字符中取出j个子串，并且这些子串连接起来形成的子串与字符串B的前j个字符相等的方案数。然后，我们可以使用递推关系来求解dp[i][j]。具体来说，对于dp[i][j]，我们可以分两种情况来考虑：1. 如果A[i-1]等于B[j-1]，那么我们可以将A[i-1]加入到前j-1个子串形成的子串中，这样我们可以得到dp[i-1][j-1]种方案。2. 如果A[i-1]不等于B[j-1]，那么我们不能将A[i-1]加入到前j-1个子串形成的子串中，所以dp[i][j]等于dp[i-1][j]。最后，我们只需要计算dp[n][k]即可得到答案。
3、运输计划
【问题描述】
公元 2044 年，人类进入了宇宙纪元。
L 国有 n 个星球，还有 n-1 条双向航道，每条航道建立在两个星球之间，这 n-1 条航道连通了 L 国的所有星球。小 P 掌管一家物流公司，该公司有很多个运输计划，每个运输计划形如：有一艘物流飞船需要从 ui号星球沿最快的宇航路径飞行到 vi号星球去。显然，飞船驶过一条航道是需要时间的，对于航道 j，任意飞船驶过它所花费的时间为 tj，并且任意两艘飞船之间不会产生任何干扰。
为了鼓励科技创新，L 国国王同意小 P 的物流公司参与 L 国的航道建设，即允许小P 把某一条航道改造成虫洞，飞船驶过虫洞不消耗时间。
在虫洞的建设完成前小 P 的物流公司就预接了 m 个运输计划。在虫洞建设完成后，这 m 个运输计划会同时开始，所有飞船一起出发。当这 m 个运输计划都完成时，小 P 的物流公司的阶段性工作就完成了。
如果小 P 可以自由选择将哪一条航道改造成虫洞，试求出小 P 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间是多少？
【输入格式】
输入文件名为 transport.in。
第一行包括两个正整数 n、m，表示 L 国中星球的数量及小 P 公司预接的运输计划的数量，星球从 1 到 n 编号。
接下来 n-1 行描述航道的建设情况，其中第 i 行包含三个整数 ai, bi和 ti，表示第i 条双向航道修建在 ai与 bi两个星球之间，任意飞船驶过它所花费的时间为 ti。
接下来 m 行描述运输计划的情况，其中第 j 行包含两个正整数 uj和 vj，表示第 j 个运输计划是从 uj号星球飞往 vj号星球。
【输出格式】
输出文件名为 transport.out。
共 1 行，包含 1 个整数，表示小 P 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间。
【输入输出样例 1】
【输入输出样例 1 说明】
将第 1 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：11、12、11，故需要花费的时间为 12。
将第 2 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：7、15、11，故需要花费的时间为 15。
将第 3 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：4、8、11，故需要花费的时间为 11。
将第 4 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：11、15、5，故需要花费的时间为 15。
将第 5 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：11、10、6，故需要花费的时间为 11。
故将第 3 条或第 5 条航道改造成虫洞均可使得完成阶段性工作的耗时最短，需要花费的时间为 11。
【数据规模与约定】
所有测试数据的范围和特点如下表所示
请注意常数因子带来的程序效率上的影响。
参考答案：由于数据规模较大，我们需要使用算法来解决这个问题。我们可以使用Dijkstra算法来解决最短路径问题。首先，我们构建一个图，其中每个节点代表一个星球，每条边代表一条航道，边的权重是飞船驶过航道的时间。然后，我们遍历所有的航道，对于每一条航道，我们将它改造成虫洞，然后对于每一个运输计划，我们计算飞船从起点到终点的时间，这个时间等于飞船从起点到虫洞的时间加上飞船从虫洞到终点的时间（如果虫洞不是终点的话）。最后，我们找出所有运输计划中最大的时间，这就是完成阶段性工作所需要的最短时间。
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