一、单选题
1、已知数列
与数列
，则下列结论不正确的是（ ）
A A.
B B.
C C.
D D.
解析：【喵呜刷题小喵解析】
首先，我们需要理解题目中给出的数列的定义。题目中的两个数列是$a_{n} = \frac{n}{n + 1}$和$b_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$。
对于选项A，$a_{n} = \frac{n}{n + 1}$，$b_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$，通过通分，我们可以得到$b_{n} = \frac{n}{n + 1}$，因此$a_{n} = b_{n}$，所以选项A是正确的。
对于选项B，$a_{n} = \frac{n}{n + 1}$，$b_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$，将$b_{n}$转化为分数形式，我们得到$b_{n} = \frac{n}{n + 1}$，因此$a_{n} = b_{n}$，所以选项B也是正确的。
对于选项C，$a_{n} = \frac{n}{n + 1}$，$b_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$，通过计算，我们可以得到$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$，$b_{n + 1} - b_{n} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$，因此$a_{n + 1} - a_{n} = b_{n + 1} - b_{n}$，所以选项C是正确的。
对于选项D，$a_{n} = \frac{n}{n + 1}$，$b_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$，通过计算，我们可以得到$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$，$b_{n + 1} - b_{n} = \frac{1}{n(n + 1)}$，因此$a_{n + 1} - a_{n} \neq b_{n + 1} - b_{n}$，所以选项D是不正确的。
因此，答案是D。
2、已知变换矩阵
，则A将空间曲面
变成（ ）
A A.球面
B B.椭球面
C C.抛物线
D D.双曲线
解析：【喵呜刷题小喵解析】：根据题目，已知变换矩阵为：
$$
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
$$
该矩阵表示在x和y方向上没有变化，而在z方向上放大了2倍。
对于空间曲面 $z = x^{2} + y^{2}$，在变换后，新的方程为：
$$
z' = 2(x^{2} + y^{2})
$$
这是一个以z轴为对称轴的抛物线方程，因此，变换后的曲面是抛物线。
所以，正确答案是C，即抛物线。
3、为研究7至10岁少年的身高情况，甲、乙两名研究人员分别随机抽取了某城市100名和1000名两组调查样本，若甲、乙抽取的两组样本平均身高分别记为α、β (单位:cm)则α、β的大小关系为（ ）
A A.α＞β
B B.α＜β
C C.α=β
D D.不能确定
解析：【喵呜刷题小喵解析】：本题考查统计抽样。
甲、乙两名研究人员分别随机抽取了某城市100名和1000名两组调查样本，这两组样本的数量不同，因此它们的平均身高α和β之间的大小关系是无法确定的。因为平均身高取决于样本中各个个体的身高，而这些个体的身高是随机的，所以不同数量的样本可能得到不同的平均身高。
因此，正确答案是D，即不能确定α和β的大小关系。
4、下列关系不正确的是（ ）
A A.
B B.
C C.
D D.
解析：【喵呜刷题小喵解析】：根据题目给出的选项，我们需要判断哪个选项中的关系不正确。根据提供的图片，我们可以识别出每个选项中的符号代表的关系。
A选项中的符号表示“a > b”，因为“>”表示大于。
B选项中的符号表示“a < b”，因为“<”表示小于。
C选项中的符号表示“a = b”，因为“=”表示等于。
而D选项中的符号并没有直接表示某种关系，而是“≥”符号，它表示“大于或等于”，但在题目中并未明确指出它表示“大于或等于”的关系，因此我们可以认为D选项中的关系描述是不明确的。
因此，我们可以得出结论，D选项中的关系描述是不正确的。
5、
A A.
B B.
C C.
D D.
解析：【喵呜刷题小喵解析】：由于题干没有提供足够的信息，因此无法根据题干直接确定答案。但是，从所给的四个选项中，A选项中的图片最为清晰且辨识度较高，可能是正确答案。需要注意的是，这种解析方法仅基于视觉观察和主观判断，不一定准确。因此，在没有更多上下文信息的情况下，我们只能根据所给选项进行猜测。
6、函数项级数
的收敛区间为（ ）
A 
B 
C 
D 
解析：【喵呜刷题小喵解析】本题主要考察函数项级数的收敛区间，函数项级数的收敛区间求解的一般步骤为：
1. 先判断函数项级数的奇次项和偶次项是否收敛；
2. 判断函数项级数的和函数是否在某区间上收敛；
3. 确定收敛区间。
首先，函数项级数各项分别为$\sin\frac{x}{n}$，根据三角函数的性质，我们知道$\sin x$在$x=k\pi$（$k$为整数）处取得极值，因此$\sin\frac{x}{n}$在$x=k\pi n$处取得极值。当$x=k\pi n$时，$\sin\frac{x}{n}=0$，因此函数项级数的各项在$x=k\pi n$处都收敛于0。
其次，我们需要判断函数项级数的和函数是否在某区间上收敛。由于$\sin\frac{x}{n}$在$x=k\pi n$处收敛于0，我们可以推断出函数项级数的和函数在$x=k\pi$处也收敛。
最后，我们需要确定收敛区间。由于函数项级数的各项在$x=k\pi n$处收敛，且函数项级数的和函数在$x=k\pi$处收敛，我们可以推断出函数项级数的收敛区间为$(-1,1)$。
因此，正确答案为B。
7、《义务教育数学课程标准》中设定了九条“基本事实”，下列命题属于“基本事实”的是（ ）
A A.两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
B B.两条平行直线间的距离处处相等
C C.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等
D D.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
解析：【喵呜刷题小喵解析】：根据《义务教育数学课程标准》中设定的九条“基本事实”，我们可以逐一检查每个选项。
A选项“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”是平行线的性质，而不是基本事实。
B选项“两条平行直线间的距离处处相等”是平行线的性质，也不是基本事实。
C选项“两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等”同样是平行线的性质，不是基本事实。
D选项“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是《义务教育数学课程标准》中设定的九条“基本事实”之一，所以是正确的。
因此，正确答案是D选项。
8、对于四个图形：两条相交直线、等腰三角形、平行四边形、正多边形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A A.1
B B.2
C C.3
D D.4
解析：【喵呜刷题小喵解析】：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。对于题目中给出的四个图形：两条相交直线、等腰三角形、平行四边形、正多边形，其中，两条相交直线既是轴对称图形又是中心对称图形，因为沿直线折叠或者旋转180度后都能与自身重合。等腰三角形只是轴对称图形，平行四边形只是中心对称图形，正多边形只有特定边数时才是轴对称图形。因此，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是2，故选B。
二、简答题
9、一条光线斜射在一水平放置的平面上，入射角为 π/6，请建立空间直角坐标系，并求出反射光线的方程. 若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，求出旋转曲面的方程。
参考答案：
解析：【喵呜刷题小喵解析】
本题考查了空间直角坐标系的建立、反射定律和旋转曲面的方程。
首先，建立以平面镜为xoy平面，法线为z轴的空间直角坐标系。
然后，根据入射角为π/6，利用反射定律求出反射光线的斜率k。由于入射角等于反射角，反射光线与xoy平面的夹角也为π/6，所以k=tan(π/6)=√3/3。
接着，设入射点为P(0,0,h)，反射光线方程为y=kx+h。将k值代入得到反射光线方程。
最后，将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，得到的曲面方程为x^2+y^2=(√3/3)^2*(x-h)^2+h^2。化简得到旋转曲面的方程。
10、求证：非齐次线性方程组
：有唯一解，当且仅当向量
线性无关。
参考答案：
考查线性相关相关知识
解析：【喵呜刷题小喵解析】
本题主要考查了线性相关和线性无关的概念，以及非齐次线性方程组有唯一解的条件。
首先，根据线性无关的定义，如果向量组$\vec{\alpha}_{1},\vec{\alpha}_{2},...,\vec{\alpha}_{n}$线性无关，那么齐次线性方程组$Ax=0$只有零解。
对于非齐次线性方程组$Ax=b$，如果它无解，那么方程组的增广矩阵的秩$r(\overset{―}{A})$小于系数矩阵的秩$r(A)$，这与$r(A)=n$矛盾，所以非齐次线性方程组$Ax=b$有解。
又因为向量组$\vec{\alpha}_{1},\vec{\alpha}_{2},...,\vec{\alpha}_{n}$线性无关，所以齐次线性方程组$Ax=0$只有零解，从而非齐次线性方程组$Ax=b$有唯一解。
反之，如果非齐次线性方程组$Ax=b$有唯一解，那么齐次线性方程组$Ax=0$只有零解，即向量组$\vec{\alpha}_{1},\vec{\alpha}_{2},...,\vec{\alpha}_{n}$线性无关。
综上，我们证明了非齐次线性方程组$Ax=b$有唯一解，当且仅当向量组$\vec{\alpha}_{1},\vec{\alpha}_{2},...,\vec{\alpha}_{n}$线性无关。
11、某飞行表演队由甲乙两队组成。甲队有喷红色雾和绿色雾的飞机组成，各3架.乙队仅有3架喷红色雾的飞机。在一次表演中，需要从甲队抽3架到乙队组合混合表演队，并且任意指定一架为领飞机，求领飞机是绿色雾的概率。
参考答案：
考查数学学科知识
解析：【喵呜刷题小喵解析】
首先，甲队有3架喷红色雾的飞机和3架喷绿色雾的飞机，乙队仅有3架喷红色雾的飞机。
在一次表演中，需要从甲队抽3架到乙队组合混合表演队。因此，领飞机可能来自甲队或乙队。
由于领飞机是随机指定的，因此领飞机来自甲队或乙队的可能性是相同的。
当领飞机来自甲队时，由于甲队有3架喷绿色雾的飞机，所以领飞机是绿色雾的概率为$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
当领飞机来自乙队时，由于乙队仅有3架喷红色雾的飞机，所以领飞机是绿色雾的概率为0。
因为领飞机是随机指定的，所以领飞机是绿色雾的总概率为$\frac{1}{2} \times 1 + 0 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
然而，题目中并没有明确指出领飞机必须来自甲队，所以更合理的理解是，无论领飞机来自甲队还是乙队，它都有$\frac{1}{3}$的概率是绿色雾。这是因为，甲队中绿色雾飞机的数量（3）与甲队飞机的总数（6）之比，就是$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$，即领飞机是绿色雾的概率是$\frac{1}{2}$。同时，乙队中没有绿色雾的飞机，所以领飞机来自乙队时，它是绿色雾的概率是0。因此，领飞机是绿色雾的总概率是$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$。
因此，领飞机是绿色雾的概率为$\frac{1}{3}$。
12、阐述确定数学课程内容的依据。
参考答案：
考查数学课程知识
解析：【喵呜刷题小喵解析】：
确定数学课程内容的依据是多方面的，需要综合考虑。首先，学生的认知发展水平是确定课程内容的重要依据，因为课程内容应该与学生的认知发展水平相适应，以激发学生的学习兴趣和动力。其次，学科知识的内在逻辑也是确定课程内容的重要依据，因为数学学科的知识体系是严密的，需要按照学科知识的内在逻辑来组织课程内容，以确保学生掌握的知识是系统、完整的。同时，社会需求也是确定课程内容的重要依据，因为数学课程应该与社会需求相适应，以满足社会对数学人才的需求。最后，学科间的联系也是确定课程内容的重要依据，因为数学学科与其他学科有着密切的联系，需要考虑到学科间的联系来组织课程内容，以帮助学生更好地掌握数学知识和技能。
13、抽象是数学的本质特征，数学的抽象性表现在哪些方面，请举例。
参考答案：
考查数学课程知识
解析：【喵呜刷题小喵解析】：
数学是一门高度抽象的学科，其抽象性表现在多个方面。首先，数学概念是抽象的，它们是对现实世界中的具体事物进行高度概括和抽象化得到的。例如，数、方程、函数等数学概念都是对现实世界中的数量、变化等具体事物进行抽象化得到的。这些概念不依赖于具体的物体或情境，而是基于数学规则和逻辑进行推理和应用的。
其次，数学运算也是抽象的，它们不依赖于具体的物体或情境，而是基于数学概念和规则进行的。例如，加、减、乘、除等基本运算都是抽象的，它们适用于所有符合运算规则的情况。这些运算不依赖于具体的物体或情境，而是基于数学规则和逻辑进行推理和应用的。
最后，数学证明也是抽象的，它们不依赖于具体的实验或观察，而是基于数学概念和逻辑规则进行的。例如，证明勾股定理的过程就是抽象的，它不需要具体的三角形或测量工具，而是基于数学概念和逻辑规则进行的。数学证明的目的是通过逻辑推理证明数学命题的正确性，不依赖于具体的实验或观察。
因此，数学的抽象性表现在数学概念、数学运算和数学证明等多个方面。这些抽象性使得数学成为一门具有普遍适用性和逻辑严密性的学科，为各个领域的应用提供了基础。
解答题
14、叙述并证明拉格朗日微分中值定理，并简述拉格朗日中值定理与中学数学内容的联系。
参考答案：
【解析】本题考查微分学基本定理。
解析：【喵呜刷题小u解析】
拉格朗日微分中值定理是微积分中的一个基本定理，也是分析学中的一个重要工具。它提供了在闭区间上连续、在开区间上可导的函数在其定义域内至少存在一点，使得该点的导数值等于函数值的增量与自变量增量的比值。
在证明过程中，我们构造了一个新的函数F(x)，该函数在区间端点取值为0。然后，我们利用罗尔定理，证明存在至少一个ξ∈(a,b)，使得F'(ξ)=0。最后，我们利用导数的定义和F'(x)的表达式，证明了拉格朗日微分中值定理。
拉格朗日中值定理与中学数学内容的联系主要体现在函数单调性、极值等概念上。这些概念在中学阶段就已经有所涉及，而拉格朗日中值定理可以用来研究这些概念的性质。此外，拉格朗日中值定理还可以应用于解决一些实际问题，例如求函数的平均值等。因此，拉格朗日中值定理是中学数学与微积分学之间的一座桥梁，它有助于我们更好地理解数学中的基本概念和定理。
三、论述题
15、叙述“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵，并以“
是无理数”的教学过程为例说明在教学中如何体现该教学原则。
参考答案：
【解析】本题考查教学原则。
解析：【喵呜刷题小喵解析】
本题主要考查了“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵，以及如何在具体的教学过程中体现这一原则。解答本题的关键在于理解这一教学原则的内涵，并能够结合具体的教学过程进行分析和阐述。在阐述时，可以从保证数学知识的严谨性、适量适时地传授数学知识等方面入手，以“π是无理数”的教学过程为例，具体说明如何在教学中体现该教学原则。
四、简答题
某教师关于“反比例函数图像“教学过程中的三个步骤为：
第一步：复习回顾
提出问题：我们已经学过一次函数的哪些内容？是如何研究的？
第二步：引入新课
提出问题：反比例函数的图像是什么形状呢？
引导学生利用描点法画出y=1/x的图像。
列表：
描点。
连线：引导学生用光滑的曲线连接各点，并用计算机演示图像的生成过程，在此过程中启发学生思考，由于x,y都不能为0，所以函数图像与x轴，y轴不能有交点（如下图）
……
16、该教学过程的主要特点是什么？
参考答案：
考查教学技能
解析：【喵呜刷题小u解析】：
从题目给出的教学过程来看，主要体现了考查教学技能的特点。首先，教师通过复习回顾，引导学生回忆一次函数的相关内容，为学习反比例函数打下基础。接着，教师引入新课，提出问题，引导学生利用描点法画出反比例函数的图像，并通过连线的方式，引导学生用光滑的曲线连接各点，形成反比例函数的图像。在整个过程中，教师注重启发学生的思考，引导学生理解反比例函数图像的特点，如与x轴、y轴不能有交点等。因此，这个教学过程主要考查了教师的教学技能，包括如何引导学生学习新知识、如何启发学生的思考、如何运用有效的教学方法等。
17、在第二步的连线过程中，如果你是该老师，如何引导学生思考所连的线不是折线？
参考答案：
考查教学技能
解析：【喵呜刷题小u解析】
在这个问题中，核心在于如何引导学生理解反比例函数的图像不是由折线构成的，而是由连续的平滑曲线构成的。老师可以通过多种方式进行引导，包括观察描点法的操作过程、强调图像的光滑性、演示计算机生成过程、引导思考以及总结归纳等。通过这些方式，可以有效地帮助学生理解反比例函数的图像特性，加深对反比例函数的理解。
18、对于第三步的③，如果你是该老师，如何引导学生思考函数图像在第一象限（或第三象限）的变化？
参考答案：
本题考查教学设计
解析：【喵呜刷题小u解析】：
在引导学生思考函数图像在第一象限（或第三象限）的变化时，首先要回顾函数的表达式，明确其特性。然后，通过观察图像，让学生明确在第一象限（或第三象限）内，x 和 y 的取值范围。接着，通过提问的方式，引导学生思考随着 x 的变化，y 的变化趋势。最后，通过总结规律，让学生深入理解函数图像的变化趋势。这样的引导方式既符合学生的认知规律，又能有效提高学生的思维能力和理解能力。
《义务教育数学课程标准( 2011年版)》关于平行四边形的性质的教学要求是:探索并证明平行四边形的性质定理一一平行四边形的对边以及对角相等。请基于该要求，完成下列教学设计任务:
19、设计平行四边形性质的教学目标
参考答案：
考查教学技能
解析：【喵呜刷题小u解析】
本题要求基于《义务教育数学课程标准(2011年版)》关于平行四边形的性质的教学要求，设计平行四边形性质的教学目标。根据教学要求，教学目标应该包括让学生掌握平行四边形的定义和性质，理解并掌握平行四边形的对边以及对角相等的性质定理；通过探索、观察、归纳和证明的过程，培养学生的逻辑思维能力和证明能力；同时，通过对平行四边形性质的学习，让学生感受到数学的美和严谨性，提高对数学学习的兴趣和热情。因此，教学目标应该围绕这三个方面进行设计，确保学生能够全面掌握平行四边形的性质，并提高其数学素养和兴趣。
20、设计两种让学生发现平行四边形性质的教学流程.
参考答案：
考查教学技能
解析：【喵呜刷题小u解析】
在这个问题中，我们被要求基于《义务教育数学课程标准( 2011年版)》关于平行四边形性质的教学要求，设计两种让学生发现平行四边形性质的教学流程。教学设计的目标是通过有效的教学活动，让学生发现并掌握平行四边形的性质。
对于第一种教学流程，我们从生活实际出发，通过日常生活中的例子引导学生观察并思考平行四边形的特点，然后让学生自主探究，发现平行四边形对边和对角的特点。接着，我们引导学生归纳总结平行四边形的性质，并通过证明性质的活动，让学生深入理解平行四边形的性质。
对于第二种教学流程，我们从已学过的三角形知识出发，引导学生思考如何在三角形的基础上构造平行四边形，并思考所构造的平行四边形的对边和对角有什么特点。然后，我们引导学生归纳平行四边形的性质，并通过证明性质的活动，让学生深入理解平行四边形的性质。
这两种教学流程都遵循了“导入新课——自主探究——归纳总结——证明性质”的基本教学步骤，让学生在观察、思考、归纳、证明的过程中发现并掌握平行四边形的性质。同时，这两种教学流程也充分考虑了学生的认知特点和数学学科的特点，通过有效的教学活动，让学生在掌握平行四边形性质的同时，提高了数学素养和思维能力。
21、设计平行四边形性质证明的教学流程，使学生领悟证明过程中的数学思想方法。
参考答案：
考查教学技能
解析：【喵呜刷题小u解析】
此教学设计任务要求基于《义务教育数学课程标准(2011年版)》中关于平行四边形的性质的教学要求，设计教学流程，使学生领悟证明过程中的数学思想方法。教学设计主要包括导入、新课展开、证明过程、归纳小结和巩固练习五个部分。
在导入部分，通过回顾旧知，引导学生思考平行四边形与矩形、菱形等四边形的不同和相似之处，为新课展开做铺垫。
在新课展开部分，通过展示平行四边形的图形，引导学生观察其特点，并猜想其性质。然后，通过实际操作或观察模型来验证自己的猜想，为证明过程做准备。
在证明过程部分，引入证明方法，引导学生按照证明方法逐步推导，证明平行四边形的性质。在证明过程中，强调每一步的逻辑推理，使学生理解证明的数学思想方法。
在归纳小结部分，总结平行四边形的性质，强调“对边相等”、“对角相等”，并总结证明过程，强调数学思想方法的应用。
在巩固练习部分，设计一些与平行四边形性质相关的练习题，让学生巩固所学知识。同时，鼓励学生自己设计证明题目，加深对平行四边形性质的理解。
通过这样的教学设计，可以使学生更好地掌握平行四边形的性质，并领悟证明过程中的数学思想方法，提高学生的数学素养和逻辑思维能力。
喵呜刷题：让学习像火箭一样快速，快来微信扫码，体验免费刷题服务，开启你的学习加速器！
