在高中数学的备考中，导数在优化问题中的应用是一个重要的考点。
一、利润最大化（收益 - 成本函数求导）
1. 知识点内容
- 收益函数通常表示为产品价格与销售量的乘积。比如，某种商品的单价为p(x)，销售量为x，那么收益函数R(x)=p(x)*x。成本函数C(x)则包含了固定成本和可变成本等各项支出。利润函数L(x)=R(x)-C(x)。
- 当我们要找到利润最大时的产量x，就需要对利润函数求导。导数为0的点可能是极值点。例如，若L’(x)=0，求出x的值。
2. 学习方法
- 要熟练掌握基本的经济数量关系，多做一些简单的收益和成本计算练习。
- 对于求导运算，牢记常见函数的求导公式，如幂函数、一次函数等的求导公式。通过大量例题来提高对利润函数求导并求解的熟练程度。
二、用料最省（表面积函数求极值）
1. 知识点内容
- 在立体几何中，如果要制作一个容器使其用料最省，往往要根据容器的形状建立表面积函数。比如对于圆柱体，表面积S = 2πr²+2πrh（r为底面半径，h为高），并且可能会受到体积等其他条件的约束。例如已知体积V一定，由V = πr²h可得h=V/(πr²)，将其代入表面积函数得到只关于r的函数，然后求这个函数的极值。
2. 学习方法
- 牢固掌握立体几何图形的各种公式，包括表面积和体积公式。
- 学会根据实际问题中的约束条件进行变量代换，将复杂的问题转化为单变量的函数求极值问题。
三、“建立模型 - 求导分析 - 验证结论”的解题三步曲
1. 建立模型
- 这是解决优化问题的第一步。要认真分析题目中的实际情境，找出其中的关键数量关系，将其转化为数学函数模型。比如在商业问题中找利润函数，在工程问题中找用料函数等。
2. 求导分析
- 对建立的函数进行求导操作，找到导数为0的点和导数不存在的点，这些点可能是函数的极值点。
3. 验证结论
- 求出可能的极值点后，要通过二阶导数或者比较极值点两侧函数值的大小等方法来确定是极大值还是极小值，并且还要结合实际问题的背景来判断是否符合题意。
四、工业案例解析
例如在工业生产中，有一个生产某种产品的工厂。生产这种产品需要投入原材料、劳动力等成本。产品的售价会受到市场需求的影响。假设市场调研得出产品的销售量与价格的函数关系，以及成本的计算方式。首先根据这些信息建立利润函数，然后按照上述步骤求导分析找到使利润最大的生产和定价策略。这就很好地体现了导数在优化问题在实际工业中的应用。
总之，在备考导数在优化问题中的应用时，要理解各个知识点的内涵，掌握有效的学习方法，多做练习并且注重实际案例的分析，这样才能在考试中应对自如。
喵呜刷题：让学习像火箭一样快速，快来微信扫码，体验免费刷题服务，开启你的学习加速器！
