在高考数学备考中，数学建模与生活应用的考察逐渐受到重视。这一部分内容不仅考察学生的数学知识和技能，更强调学生的数学抽象和逻辑推理能力。本文将指导学生如何建立“最优购物方案”和“体育比赛积分”的数学模型，并撰写“问题描述 - 模型建立 - 求解验证”的报告，以培养学生的核心素养。
一、最优购物方案模型
- 问题描述
在日常生活中，我们经常会遇到购物时如何选择商品以达到最优的问题。例如，在有限的预算下，如何购买商品使得总价值最大？这就是一个典型的优化问题。
- 模型建立
（1）设定变量：设商品的价格为$p_i$，价值为$v_i$，购买数量为$x_i$，预算为$B$。
（2）建立目标函数：最大化总价值，即$max \sum_{i=1}^{n} v_i x_i$。
（3）建立约束条件：预算约束，即$\sum_{i=1}^{n} p_i x_i \leq B$；非负约束，即$x_i \geq 0$。
- 求解验证
利用线性规划的方法求解该模型，得到最优购买方案。通过实际数据进行验证，确保模型的正确性和实用性。
二、体育比赛积分模型
- 问题描述
在体育比赛中，如何根据胜负情况计算各队的积分，并确定最终排名？
- 模型建立
（1）设定变量：设胜一场得$a$分，平一场得$b$分，负一场得$c$分（通常$c=0$），各队胜、平、负场次分别为$w_i, d_i, l_i$。
（2）建立积分公式：总积分$S_i = a \cdot w_i + b \cdot d_i + c \cdot l_i$。
（3）确定排名规则：根据总积分从高到低排序，积分相同时可参考净胜球、进球数等其他因素。
- 求解验证
根据实际比赛数据，代入模型进行计算，得出各队积分和排名。通过与其他计算方法或官方结果进行对比，验证模型的准确性。
三、培养核心素养
通过数学建模与生活应用的备考，学生可以培养以下核心素养：
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数学抽象：将实际问题抽象为数学模型，提炼出问题的本质特征。
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逻辑推理：根据问题背景和条件，运用数学知识和方法进行推理和判断。
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创新意识：针对实际问题，提出创新的解决方案和方法。
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实践能力：将数学模型应用于实际生活中，解决实际问题。
四、建模案例解析
以“最优购物方案”为例，假设小明有100元预算，想购买A、B两种商品，价格分别为20元和30元，价值分别为30元和50元。则可建立如下模型：
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目标函数：$max 30x_1 + 50x_2$
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约束条件：$20x_1 + 30x_2 \leq 100, x_1, x_2 \geq 0$
求解该模型可得最优购买方案为：购买2个A商品和2个B商品，总价值为160元。
总之，数学建模与生活应用是高考数学备考的重要内容之一。通过掌握建模方法和技巧，培养核心素养，学生可以更好地应对高考挑战，提高解题能力和综合素质。
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