在软件设计师的备考过程中，数据结构与算法是一个重要的部分，而图的最短路径算法又是其中的关键考点。本文将详细讲解 Dijkstra 算法（单源最短路径）和 Floyd-Warshall 算法（多源最短路径）的实现步骤，并总结两者的时间复杂度和适用图类型，帮助考生在强化阶段更好地备考。
一、Dijkstra 算法（单源最短路径）
Dijkstra 算法是一种用于计算单源最短路径的经典算法，适用于边权重为非负的图。其基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他顶点，每次选择当前距离起点最近的顶点进行扩展，直到所有顶点都被访问过。
实现步骤：
- 初始化：将起点的距离设为 0，其他顶点的距离设为无穷大。
- 选择当前距离起点最近的顶点 u，并将其标记为已访问。
- 对于顶点 u 的每个邻接顶点 v，如果通过 u 到达 v 的距离比当前记录的距离更短，则更新 v 的距离。
- 重复步骤 2 和 3，直到所有顶点都被访问过。
时间复杂度：Dijkstra 算法的时间复杂度取决于优先队列的实现方式。使用二叉堆实现的 Dijkstra 算法的时间复杂度为 O((V + E)logV)，其中 V 是顶点数，E 是边数。
适用图类型：Dijkstra 算法适用于边权重为非负的图，包括有向图和无向图。
二、Floyd-Warshall 算法（多源最短路径）
Floyd-Warshall 算法是一种用于计算多源最短路径的经典算法，适用于边权重可以为负的图。其基本思想是通过动态规划逐步更新每对顶点之间的最短路径。
实现步骤：
- 初始化：将每对顶点之间的距离设为图的邻接矩阵，如果两个顶点之间没有直接边相连，则距离设为无穷大。
- 对于每一个中间顶点 k，更新每对顶点 (i, j) 之间的最短路径，如果通过 k 到达 i 和 j 的距离比当前记录的距离更短，则更新距离。
- 重复步骤 2，直到所有顶点都被用作中间顶点。
时间复杂度：Floyd-Warshall 算法的时间复杂度为 O(V^3)，其中 V 是顶点数。
适用图类型：Floyd-Warshall 算法适用于边权重可以为负的图，包括有向图和无向图。但对于边权重为负且存在负权回路的图，Floyd-Warshall 算法无法正确计算最短路径。
总结：
Dijkstra 算法和 Floyd-Warshall 算法是解决图最短路径问题的两种经典算法。Dijkstra 算法适用于边权重为非负的图，时间复杂度较低；而 Floyd-Warshall 算法适用于边权重可以为负的图，但时间复杂度较高。在备考过程中，考生需要熟练掌握这两种算法的实现步骤、时间复杂度和适用图类型，并通过大量练习加深理解。
通过本文的讲解，相信考生们对图的最短路径算法有了更深入的了解。在接下来的备考过程中，希望大家能够多加练习，熟练掌握这两种算法，为软件设计师考试做好充分准备。
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