并查集算法优化：路径压缩与按秩合并策略详解

在数据结构的学习中，并查集（Union-Find）算法是一个非常重要的部分，尤其在解决图的连通性问题时。为了提高并查集的效率，通常会采用两种优化策略：路径压缩和按秩合并。本文将详细讲解这两种策略，并推导其均摊时间复杂度至近乎常数级。

并查集简介

并查集是一种用于管理元素分组情况的数据结构。它支持两种主要操作：查找（Find）和合并（Union）。查找操作用于确定某个元素所属的组，而合并操作则用于将两个组合并成一个组。

路径压缩

路径压缩是一种在执行查找操作时进行的优化。具体来说，当查找某个元素的根节点时，路径压缩会将查找路径上的所有节点直接连接到根节点。这样，后续对这些节点的查找操作将大大减少时间。

实现方法

在查找操作中，使用递归或迭代的方式找到根节点，并在返回过程中将路径上的每个节点的父节点直接指向根节点。以下是路径压缩的伪代码：

function find(x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find(parent[x])
    return parent[x]

时间复杂度

路径压缩使得每次查找操作的时间复杂度接近O(1)。虽然单次操作的实际时间复杂度仍然是O(log n)，但由于路径压缩的存在，均摊时间复杂度大大降低。

按秩合并

按秩合并是一种在执行合并操作时进行的优化。具体来说，按秩合并会根据树的高度（或秩）来决定如何合并两棵树。总是将高度较小的树合并到高度较大的树中，从而减少树的高度。

实现方法

在合并操作中，比较两棵树的秩（高度），将秩较小的树的根节点指向秩较大的树的根节点。如果两棵树的秩相同，则可以任意选择一棵树作为新的根节点，并将根节点的秩加1。以下是按秩合并的伪代码：

function union(x, y):
    rootX = find(x)
    rootY = find(y)
    
    if rootX != rootY:
        if rank[rootX] > rank[rootY]:
            parent[rootY] = rootX
        else if rank[rootX] < rank[rootY]:
            parent[rootX] = rootY
        else:
            parent[rootY] = rootX
            rank[rootX] += 1