在CSP - J的备考冲刺阶段（第5个月），数学强化是非常关键的一部分，而矩阵快速幂是一个值得深入探究的知识点。
一、矩阵乘法定义
1. 基本概念
- 矩阵是由数排成的矩形阵列。设$A=(a_{ij})$是一个$m\times p$的矩阵，$B=(b_{ij})$是一个$p\times n$的矩阵。那么矩阵$A$与$B$的乘积$AB = C=(c_{ij})$是一个$m\times n$的矩阵，其中$c_{ij}=\sum_{k = 1}^{p}a_{ik}b_{kj}$。
- 例如，若$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}5&6\7&8\end{pmatrix}$，则$AB=\begin{pmatrix}1\times5 + 2\times7&1\times6+2\times8\3\times5 + 4\times7&3\times6 + 4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\43&50\end{pmatrix}$。
2. 学习方法
- 理解记忆：通过多做简单的$2\times2$或$3\times3$矩阵乘法练习，来深刻理解矩阵乘法的计算规则。
- 对比学习：将矩阵乘法与普通的数的乘法进行对比，明确它们之间的相同点和不同点。
二、快速幂扩展到矩阵的实现步骤
1. 快速幂原理回顾
- 对于数的快速幂，例如计算$a^n$，如果$n$很大，直接计算效率很低。我们可以利用分治的思想，将$n$表示为二进制形式，然后根据指数的二进制位来计算幂次。比如$a^{13}$，因为$13 = 1101_{(2)}$，则$a^{13}=a^{8}\times a^{4}\times a^{1}$。
2. 矩阵快速幂实现
- 对于矩阵$A$的$n$次幂，同样可以采用这种方法。先把$n$转化为二进制形式，然后逐步计算$A$的低次幂（如$A^2,A^4,A^8,\cdots$），再根据$n$的二进制位组合这些低次幂得到$A^n$。
- 例如计算$A^5$，$5 = 101_{(2)}$，则$A^5 = A^4\times A$。
三、在递推数列（如斐波那契）加速计算中的应用
1. 斐波那契数列的递推关系
- 斐波那契数列$F(n)$满足$F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)$，$n\geqslant3$，且$F(1)=1$，$F(2)=1$。
2. 矩阵表示
- 可以将斐波那契数列的递推关系转化为矩阵形式：$\begin{pmatrix}F(n)\F(n - 1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}F(n - 1)\F(n - 2)\end{pmatrix}$。
- 那么$\begin{pmatrix}F(n)\F(n - 1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\1&0\end{pmatrix}^{n - 1}\begin{pmatrix}F(2)\F(1)\end{pmatrix}$。
3. 计算优势
- 当$n$很大时，如果直接按照递推公式计算斐波那契数列会非常耗时，而使用矩阵快速幂计算$\begin{pmatrix}1&1\1&0\end{pmatrix}^{n - 1}$的时间复杂度大大降低，可以快速得到斐波那契数列的第$n$项。
总之，在CSP - J的备考冲刺阶段，掌握矩阵快速幂这个知识点，不仅能加深对数学知识的理解，还能在解决递推数列等问题时提高计算效率，为取得好成绩奠定坚实的数学基础。
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