在 CSP-S 备考的 3 - 4 个月基础学习阶段，算法思维训练中的递归与迭代转换是一个重要的知识点。
一、递归的基本概念
递归是指在函数的定义中使用函数自身的方法。简单来说，就是问题的解可以由子问题的解来表示，而子问题又可以继续分解为更小的子问题，直到达到一个可以直接求解的基本情况。
二、斐波那契数列的递归实现（低效）
斐波那契数列是一个经典的例子。其定义如下：
F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2) （n >= 2）
递归实现的方式很直接：
int fibonacci(int n) {
if (n == 0) return 0;
if (n == 1) return 1;
return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}
然而，这种递归实现的效率非常低。因为对于较大的 n ，会有大量重复的计算，导致时间复杂度呈指数级增长。
三、斐波那契数列的迭代优化
为了避免重复计算，可以使用迭代的方法：
int fibonacci(int n) {
if (n == 0) return 0;
if (n == 1) return 1;
int a = 0, b = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
int temp = a + b;
a = b;
b = temp;
}
return b;
}
迭代方法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)，大大提高了效率。
四、汉诺塔问题的递归思路
汉诺塔问题是一个经典的递归问题。其规则是将一堆圆盘从一个柱子移动到另一个柱子，每次只能移动一个圆盘，并且在移动过程中不能将大圆盘放在小圆盘上。
递归的思路是：先将 n-1 个圆盘从起始柱移动到中间柱，然后将第 n 个圆盘从起始柱移动到目标柱，最后将 n-1 个圆盘从中间柱移动到目标柱。
五、汉诺塔问题的非递归模拟栈实现
虽然递归方法直观易懂，但也可以使用栈来模拟递归的过程，实现非递归的解法。这需要我们手动维护一个栈，将每个状态（包括圆盘数量、起始柱、中间柱、目标柱）压入栈中，然后按照一定的规则进行出栈和操作。
六、理解两种实现的优缺点
递归的优点是代码简洁、易于理解，能够直观地反映问题的本质。但缺点是可能会导致栈溢出，尤其是对于深度较大的递归，而且效率可能较低。
迭代的优点是效率高，不会出现栈溢出的问题。但代码可能相对复杂，不太容易直观地理解问题的本质。
总之，在备考过程中，要深入理解递归和迭代的原理，通过大量的练习来掌握它们的应用，并能够根据具体的问题选择合适的方法。
通过以上的学习和训练，相信大家在算法思维方面会有很大的提升，为 CSP-S 考试打下坚实的基础。
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