在信息学奥赛CSP - J的备考冲刺阶段（第5个月），数学部分的线性同余方程是一个重要的知识点。
一、线性同余方程的定义及求解条件
线性同余方程的形式为$ax\equiv b(\bmod m)$。它的求解是有条件的，那就是$\gcd(a,m)\mid b$（$gcd$表示最大公约数）。这个条件意味着$a$和$m$的最大公约数能够整除$b$。例如，当$a = 6$，$m = 9$，$b = 3$时，$\gcd(6,9)=3$，而$3\mid3$，这个线性同余方程就有解；但如果$b = 5$，因为$3\nmid5$，方程就无解。
二、扩展欧几里得算法求解步骤
1. 首先，对于$a$和$m$，使用扩展欧几里得算法求出$a$和$m$的最大公约数$d=\gcd(a,m)$，并且同时得到满足$ax + my=d$的一组整数解$x_0$和$y_0$。
- 计算$\gcd(a,m)$的过程类似辗转相除法。比如$a = 48$，$m = 18$，$48\div18 = 2\cdots\cdots12$，$18\div12 = 1\cdots\cdots6$，$12\div6=2$，所以$\gcd(48,18) = 6$。
- 在每一步除法运算中，我们可以回溯得到$x$和$y$的值。
2. 因为我们要求的是$ax\equiv b(\bmod m)$的解，已知$d=\gcd(a,m)$且$d\mid b$，设$b = kd$，那么原方程的解$x$可以通过$x=\frac{b}{d}x_0$得到一个特解$x_1$。
三、通解表示
线性同余方程$ax\equiv b(\bmod m)$的通解为$x = x_1 + t\frac{m}{d}(\bmod m)$，其中$t\in Z$（整数集）。这表示在得到一个特解$x_1$之后，通过加上$t$倍的$\frac{m}{d}$（并且对$m$取模）就可以得到所有的解。
在备考过程中，要多做一些相关的练习题。可以从简单的数值开始，熟悉求解步骤和通解的表示形式。同时，要深入理解每个步骤背后的原理，这样才能在考试中灵活运用这个知识点。
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