在 NOC 大赛的备考过程中，图论算法是一个重要的部分，尤其是在强化阶段的第 5 - 8 周，对于图论算法应用中的最短路径和最小生成树问题的深入理解至关重要。
一、图的存储结构
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邻接矩阵
- 这是一种用二维数组来表示图的方式。如果顶点 i 与顶点 j 之间有边相连，那么数组中对应的位置就标记为 1（或者边的权值），否则标记为 0 或一个很大的数表示不相连。
- 学习方法：通过实际画图来理解邻接矩阵的构建过程，多做一些简单的例子，比如只有几个顶点的无向图或有向图，手动写出它们的邻接矩阵，加深印象。
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邻接表
- 以链表的形式存储每个顶点的邻接顶点。对于每个顶点，都有一个链表来记录与之相邻的顶点。
- 学习方法：可以自己编写代码实现邻接表的创建和遍历，通过调试代码来熟悉其工作原理。
二、最短路径算法
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Dijkstra 算法
- 原理：每次选择未确定最短路径的顶点中距离源点最近的顶点，并更新其邻接顶点的最短路径估计值。
- 学习要点：理解其贪心的思想，通过画图和实例来推导算法的执行过程，掌握如何选择最近的顶点和更新距离。
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Bellman-Ford 算法
- 能够处理存在负权边的图。通过对所有边进行多次松弛操作来逐步逼近最短路径。
- 学习方法：重点关注负权边对算法的影响，以及如何判断图中是否存在负权回路。
三、最小生成树算法
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Prim 算法
- 从一个初始顶点开始，逐步将距离当前生成树最近的顶点加入生成树中。
- 学习要点：理解如何选择最近的顶点，以及如何维护生成树和未加入顶点的距离信息。
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Kruskal 算法
- 按照边的权值从小到大依次选择边，如果选择的边不会形成回路，就将其加入生成树。
- 学习方法：掌握如何判断是否形成回路，可以使用并查集等数据结构来优化判断过程。
为了更好地掌握这些知识点，建议多做一些相关的练习题，包括在线编程平台的题目和历年的比赛真题。同时，要注重总结归纳，将不同的算法进行对比，找出它们的优缺点和适用场景。此外，还可以参加一些线上或线下的学习小组，与其他备考者交流学习心得和经验，共同进步。
总之，在这一阶段的备考中，要深入理解图论算法的原理和实现，通过大量的练习来提高解题能力和速度，为 NOC 大赛做好充分的准备。
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