在信息学奥赛 CSP-J 的备考过程中，算法部分一直是重点和难点。而动态规划作为其中的一种重要算法思想，其空间优化技巧更是需要我们深入理解和掌握。今天我们就以经典的 0 - 1 背包问题为例，来讲解如何将二维数组压缩为一维数组，并且理解状态转移的覆盖问题。
一、0 - 1 背包问题简介
0 - 1 背包问题是这样描述的：有一个容量为 C 的背包和 n 个物品，每个物品都有自己的重量 w[i] 和价值 v[i] ，要求在不超过背包容量的情况下，选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大，并且每个物品只能选择 0 个或 1 个。
二、二维数组解法回顾
我们先回顾一下使用二维数组来解决 0 - 1 背包问题的思路。定义一个二维数组 dp[i][j] ，表示前 i 个物品，在背包容量为 j 的情况下所能获得的最大价值。状态转移方程如下：
当 j < w[i] 时，dp[i][j] = dp[i - 1][j] ，因为当前物品重量大于背包容量，所以不能放入背包，最大价值就等于前 i - 1 个物品在容量 j 下的最大价值。
当 j >= w[i] 时，dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]) ，即比较不放入当前物品和放入当前物品这两种情况下的最大价值。
三、空间优化为一维数组
在上述二维数组解法中，我们发现每次计算 dp[i][j] 时，只需要用到 dp[i - 1][j] 和 dp[i - 1][j - w[i]] 这两个值。这就意味着我们可以只使用一个一维数组来保存状态，从而节省空间。
我们将二维数组 dp[i][j] 压缩为一维数组 dp[j] 。由于在计算 dp[j] 时需要用到上一行的 dp[j] 和 dp[j - w[i]] ，为了避免覆盖还未使用的值，我们需要逆序遍历 j 。具体来说，对于每个物品 i ，我们从背包容量 C 开始，以步长为 1 递减到 w[i] ，更新 dp[j] 的值。
状态转移方程变为：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i])
四、状态转移覆盖问题解释
为什么要逆序遍历呢？这是因为如果我们顺序遍历，当计算 dp[j] 时，dp[j - w[i]] 可能已经被更新过了，而这个更新后的值是包含了当前物品 i 的，这与我们的初衷不符。我们希望 dp[j - w[i]] 是上一行未包含当前物品 i 的值。逆序遍历就能保证我们在更新 dp[j] 时，dp[j - w[i]] 还没有被当前物品 i 影响，仍然是上一行的正确值。
五、学习方法建议
-
理解原理
- 深入理解 0 - 1 背包问题的本质，以及动态规划的思想，这是掌握空间优化的基础。
- 对于状态转移方程，要明白每一步的含义和推导过程。
-
多做练习
- 通过大量的练习题来巩固所学的空间优化技巧，提高解题速度和准确性。
- 可以从简单的题目开始，逐渐增加难度，挑战自己。
-
代码实现
- 自己动手编写代码实现 0 - 1 背包问题的二维数组解法和一维数组优化解法，加深理解。
- 注意代码的细节和边界条件处理。
-
总结归纳
- 做完题目后，总结解题思路和方法，归纳常见的错误和容易忽略的点。
- 与其他同学或老师交流，分享自己的经验和心得。
总之，动态规划的空间优化是 CSP-J 备考中的重要内容，希望同学们通过以上的讲解和方法建议，能够熟练掌握 0 - 1 背包问题的高效解法，在考试中取得好成绩！
喵呜刷题：让学习像火箭一样快速，快来微信扫码，体验免费刷题服务，开启你的学习加速器！
