在 CSP-S 备考的 2 - 3 个月强化训练阶段，数论函数相关知识点的突破至关重要。其中，欧拉函数 φ(n) 的积性性质、莫比乌斯函数 μ(n) 的定义及应用（莫比乌斯反演），以及预处理数论函数的线性筛法实现是重点内容。
先来说说欧拉函数 φ(n)。欧拉函数表示小于等于 n 的正整数中与 n 互质的数的个数。其积性性质是指：如果 m 和 n 互质，那么 φ(mn) = φ(m)φ(n) 。要理解这个性质，可以通过具体的数字例子来辅助思考。比如，计算 φ(6) 和 φ(10)，然后验证 φ(6×10) = φ(60) 是否等于 φ(6)φ(10) 。学习方法上，多做一些相关的练习题，加深对积性性质的理解和应用。
莫比乌斯函数 μ(n) 的定义相对复杂一些。当 n 存在平方因子时，μ(n) = 0；当 n 是 k 个不同质数的乘积时，μ(n) = (-1)^k 。莫比乌斯反演则是利用莫比乌斯函数来求解一些数论中的问题，它可以将一个看似复杂的求和式子变得简单。为了掌握莫比乌斯反演，需要先熟练掌握莫比乌斯函数的定义，然后通过大量的例题来熟悉反演的应用场景和解题思路。
预处理数论函数的线性筛法实现是提高计算效率的关键。线性筛法可以在 O(n) 的时间复杂度内求出一定范围内的所有质数以及一些数论函数的值。学习线性筛法，要理解其原理，即每个合数只会被其最小质因子筛掉。可以通过编写代码来实现线性筛法，并对不同规模的数据进行测试，优化代码的性能。
总之，在这 2 - 3 个月的强化训练阶段，对于数论函数的相关知识点，要深入理解概念，多做练习题，通过实际应用来巩固所学知识，相信大家在 CSP-S 考试中能够取得优异的成绩！
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