在 CSP - J 备考的强化阶段（第 3 - 4 个月），数学部分的进阶知识中国剩余定理扩展是一个重点内容，尤其是当模数不互质时同余方程组的求解方法。
一、知识点内容
（一）同余方程组
同余方程组是由多个同余方程组成的方程组。例如：$x \equiv a_1 \pmod {m_1}$ ，$x \equiv a_2 \pmod {m_2}$ ，$\cdots$ ，$x \equiv a_n \pmod {m_n}$ 。
（二）模数不互质的情况
当模数 $m_1$ ，$m_2$ ，$\cdots$ ，$m_n$ 不互质时，求解同余方程组就不能简单地使用中国剩余定理的常规方法。
（三）合并方程法
这是解决模数不互质时同余方程组的关键方法。其基本思路是通过逐步合并方程来求解。
（四）通解存在条件
并非所有的模数不互质的同余方程组都有解，需要满足一定的条件。
二、学习方法
（一）理解基本概念
首先要深刻理解同余、模数、同余方程等基本概念，这是后续学习的基础。
（二）掌握合并步骤
1. 先选择两个同余方程，例如 $x \equiv a_1 \pmod {m_1}$ 和 $x \equiv a_2 \pmod {m_2}$ 。
2. 计算 $M = m_1 \times m_2$ ，$M_1 = \frac{M}{m_1}$ ，$M_2 = \frac{M}{m_2}$ 。
3. 求出 $M_1$ 在模 $m_1$ 下的逆元 $y_1$ ，$M_2$ 在模 $m_2$ 下的逆元 $y_2$ 。
4. 得到合并后的方程 $x \equiv a_1 M_1 y_1 + a_2 M_2 y_2 \pmod {M}$ 。
（三）多做练习题
通过大量的练习来熟悉和巩固合并方程的方法，提高解题能力。
（四）复杂案例解析
例如：求解同余方程组 $x \equiv 2 \pmod {6}$ ，$x \equiv 3 \pmod {9}$ 。
首先，$M = 6×9 = 54$ ，$M_1 = 9$ ，$M_2 = 6$ 。
$9$ 在模 $6$ 下的逆元为 $3$ ，$6$ 在模 $9$ 下的逆元为 $6$ 。
则合并后的方程为 $x \equiv 2×9×3 + 3×6×6 \equiv 54 + 108 \equiv 162 \equiv 2 \pmod {54}$ 。
总之，在备考强化阶段，对于中国剩余定理扩展这一知识点，要认真学习其原理和方法，通过大量的练习和案例分析来掌握，为 CSP - J 考试做好充分准备。
喵呜刷题：让学习像火箭一样快速，快来微信扫码，体验免费刷题服务，开启你的学习加速器！
