在信息学奥赛 CSP-J 的备考冲刺阶段，数学强化是至关重要的一环。今天，我们将重点讲解数论中的分块技巧，特别是关于 ∑(n/i) 中 i 的取值分段特性的理解和应用。
一、数论分块的基本思想
数论分块是一种处理数论问题的有效方法，它基于这样一个观察：对于给定的 n，函数 f(n/i) 在一定范围内具有相同的值。通过将 n 分成若干块，每一块内的 i 值使得 f(n/i) 保持不变，从而可以大大减少计算的次数。
二、∑(n/i) 的分段特性
对于函数 ∑(n/i)，我们可以发现，随着 i 的增加，n/i 的值会逐渐减小，并且在某个点开始重复之前的值。具体来说，当 i 从 1 增加到 √n 时，n/i 的值从 n 逐渐减小到 √n；之后，随着 i 的继续增加，n/i 的值开始重复之前的值，但对应的 i 值在增大。
三、快速计算数论函数前缀和的分块技巧
基于上述分段特性，我们可以总结出一种快速计算数论函数前缀和的分块技巧。具体步骤如下：
- 初始化结果变量 res 为 0。
- 对于每个块，找到使得 n/i 保持不变的 i 的范围 [l, r]。
- 计算该块内 n/i 的和，并累加到 res 中。
- 重复步骤 2 和 3，直到遍历完所有块。
该算法的时间复杂度为 O(2√n)，相较于直接计算的 O(n) 时间复杂度，具有显著的优化效果。
四、应用案例
为了更好地理解数论分块技巧的应用，我们来看一个具体的问题：
给定一个正整数 n，求 ∑(1 ≤ i ≤ n) [gcd(i, n) == 1]，其中 gcd 表示最大公约数。
我们可以利用数论分块技巧来解决这个问题。首先，我们注意到 gcd(i, n) == 1 当且仅当 gcd(n/i, n) == 1。因此，我们可以将问题转化为求 ∑(1 ≤ i ≤ n) [gcd(n/i, n) == 1]。接下来，我们利用数论分块技巧，将 n 分成若干块，每一块内的 i 值使得 gcd(n/i, n) 保持不变。然后，我们计算每一块内满足条件的 i 的个数，并累加得到最终结果。
通过这个应用案例，我们可以看到数论分块技巧在解决实际问题中的强大威力。
总之，在信息学奥赛 CSP-J 的备考冲刺阶段，掌握数论分块技巧对于提高解题效率至关重要。希望本文能为大家提供有益的参考和帮助。
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