第25周算法进阶：动态规划初步备考指南

在备考全国青少年机器人技术等级考试 Sketch编程考试时，动态规划是一个重要的知识点。动态规划是一种解决复杂问题的方法，通过将问题分解为简单的子问题来求解。本文将详细介绍动态规划的初步知识，包括斐波那契数列优化、背包问题简化版以及动态规划的适用条件。

一、斐波那契数列优化

斐波那契数列是一个经典的递归问题，但直接使用递归会导致大量的重复计算，效率低下。为了避免重复计算，可以使用动态规划的递推法。

1. 斐波那契数列定义

斐波那契数列的定义如下：
- F(0) = 0
- F(1) = 1
- F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n >= 2)

2. 递归方法的缺点

递归方法虽然简洁，但在计算较大的斐波那契数时，会重复计算很多子问题，导致效率低下。

3. 动态规划优化

动态规划通过存储已经计算过的子问题的结果，避免重复计算。可以使用数组或列表来存储中间结果。

def fibonacci(n):
    if n <= 1:
        return n
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    return dp[n]

二、背包问题简化版

背包问题是动态规划的另一个经典应用，求解在给定重量限制下，如何选择物品使得总价值最大。

1. 问题描述

给定一组物品，每个物品有一个重量和一个价值，在限定的总重量内，如何选择物品使得总价值最大。

2. 动态规划解法

使用二维数组 dp[i][j] 表示前 i 个物品在总重量不超过 j 的情况下的最大价值。

def knapsack(weights, values, max_weight):
    n = len(weights)
    dp = [[0] * (max_weight + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(max_weight + 1):
            if weights[i - 1] <= j:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weights[i - 1]] + values[i - 1])
            else:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
    return dp[n][max_weight]