在信息学奥赛 CSP-S 的备考过程中，数论分块是一个重要的专题。本文将为您详细解读如何快速计算$\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$的分块方法、分块边界的计算（$k = n/(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$），以及如何结合莫比乌斯反演处理复杂数论问题。
一、数论分块的基本思想
数论分块的核心在于利用整数除法的性质，将求和问题转化为区间求和，从而降低时间复杂度。
对于$\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$，我们观察到$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$的值在一定范围内是相同的。例如，当$i$从$1$到$n/2$时，$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$的值会逐渐减小；当$i$从$n/2$到$n$时，$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$的值又会逐渐增大。
二、分块边界的计算
分块边界$k = n/(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$的计算是关键。假设当前$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor = t$，那么下一个分块的边界$k$就是使得$\lfloor\frac{n}{k}\rfloor$发生变化的值。
我们可以通过$k = n/t$来计算边界。这样，从$i$到$k-1$，$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$的值都等于$t$。
三、快速计算的实现
对于每个分块，$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$的值相同，所以可以直接计算该分块的贡献。
假设当前分块的值为$t$，分块的起始位置为$i$，结束位置为$k-1$，那么该分块的贡献为$t \times (k - i)$。
通过不断更新分块的起始位置和值，累加每个分块的贡献，就可以在$O(\sqrt{n})$的时间复杂度内完成计算。
四、结合莫比乌斯反演
莫比乌斯反演是处理数论问题的有力工具。当遇到形如$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\gcd(i,j) == k]$的问题时，可以通过莫比乌斯函数进行转化。
首先，将问题转化为$\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\mu(d)\lfloor\frac{n}{kd}\rfloor\lfloor\frac{m}{kd}\rfloor$，然后利用数论分块的方法快速计算。
在备考过程中，要熟练掌握莫比乌斯函数的性质和计算方法，多做相关练习题，加深对这种结合应用的理解。
总之，数论分块是 CSP-S 备考中的重要内容。通过理解其基本思想，掌握分块边界的计算和快速计算方法，并结合莫比乌斯反演处理复杂问题，您将在考试中更有优势。希望本文能为您的备考提供有益的帮助，祝您取得优异的成绩！
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