在信息学奥赛 CSP-S 的备考过程中，2 - 3 个月的强化训练阶段至关重要。今天我们重点聚焦于图论算法中的有向无环图（DAG）相关知识。
一、有向无环图（DAG）基础
有向无环图是指图中不存在环，并且边具有方向。在解决实际问题中，许多场景都可以用 DAG 来建模，比如任务调度、课程安排等。
二、拓扑排序
拓扑排序是对 DAG 的顶点进行线性排序，使得对于每一条有向边 (u, v) ，顶点 u 都排在顶点 v 之前。
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Kahn 算法
- 知识点内容：首先计算每个顶点的入度。将所有入度为 0 的顶点放入队列中。然后从队列中取出一个顶点，将其输出，并将其所有邻接顶点的入度减 1。如果某个邻接顶点的入度变为 0，则将其放入队列。重复这个过程，直到队列为空。
- 学习方法：通过实际例子进行练习，理解入度的概念以及如何通过不断更新入度来找到正确的排序顺序。多写代码实现，注意边界条件的处理。
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DFS 后序逆序
- 知识点内容：通过深度优先搜索（DFS）遍历图，在遍历完成后将顶点加入结果列表。最终的结果列表需要逆序输出，即为拓扑排序的结果。
- 学习方法：掌握 DFS 的基本实现，理解在遍历过程中如何判断顶点的完成时间，以及为什么需要逆序输出。
三、DAG 上的动态规划
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最长路径
- 知识点内容：利用动态规划的思想，从起点开始逐步计算到每个顶点的最长路径长度。
- 学习方法：建立状态转移方程，通过递推的方式求解。注意处理负权边的情况。
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最短路径
- 知识点内容：与最长路径类似，但是目标是找到最短的路径长度。
- 学习方法：同样需要建立合适的状态转移方程，选择合适的算法优化计算。
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路径计数
- 知识点内容：计算从起点到终点的不同路径数量。
- 学习方法：使用动态规划数组记录每个顶点的路径数量，根据边的连接关系进行状态转移。
四、处理依赖关系的实际应用
在实际问题中，比如项目中的任务依赖关系，就可以使用 DAG 及其相关算法来解决。
学习方法：多分析实际案例，将实际问题抽象为 DAG 模型，然后选择合适的算法进行求解。
总之，在备考的强化训练阶段，对于有向无环图的相关知识要深入理解和熟练掌握。通过大量的练习和实际问题的解决，提高运用这些知识的能力，为 CSP-S 考试做好充分准备。
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