强化阶段算法进阶：拉格朗日插值法精讲

在 CSP-J 备考的强化阶段（第 3 - 4 个月），算法进阶是至关重要的一环，其中拉格朗日插值法是一个值得深入探究的知识点。

拉格朗日插值法是一种通过给定的 n + 1 个点来确定一个 n 次多项式的插值方法。假设我们已知 n + 1 个点 (x₁, y₁), (x₂, y₂),…, (xₙ₊₁, yₙ₊₁) ，拉格朗日插值多项式可以表示为：

L(x) = ∑(i=1 to n+1) [yᵢ * lᵢ(x)]

其中 lᵢ(x) 为拉格朗日基函数，其表达式为：

lᵢ(x) = ∏(j=1 to n+1, j≠i) [(x - xⱼ) / (xᵢ - xⱼ)]

拉格朗日插值法在快速计算多项式某点值中有着重要的应用。当我们需要计算多项式在某个特定点的值时，如果直接求解多项式的表达式可能非常复杂，但通过拉格朗日插值法，可以利用已知的点快速得到近似结果。

在学习拉格朗日插值法时，首先要理解其基本原理和公式推导。可以通过具体的数值例子进行手动计算，加深对插值过程的认识。

代码实现方面，需要注意模运算处理技巧。在实际编程中，为了避免数值过大导致溢出，常常需要对计算结果进行模运算。以下是一个简单的示例代码：

#include <iostream>
using namespace std;

const int MOD = 1e9 + 7;

long long lagrange(int n, int x[], int y[], int X) {
    long long res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        long long num = y[i], den = 1;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (i != j) {
                num = (num * (X - x[j] + MOD)) % MOD;
                den = (den * (x[i] - x[j] + MOD)) % MOD;
            }
        }
        res = (res + num * pow_mod(den, MOD - 2, MOD) % MOD) % MOD;
    }
    return res;
}

long long pow_mod(long long a, long long b, long long mod) {
    long long res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    int n, X;
    cin >> n >> X;
    int x[n + 1], y[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> x[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> y[i];
    cout << lagrange(n, x, y, X) << endl;
    return 0;
}

总之，在 CSP-J 备考的强化阶段，熟练掌握拉格朗日插值法对于提高算法解决问题的能力具有重要意义，希望同学们通过深入学习和实践，能够在考试中灵活运用这一方法。

喵呜刷题：让学习像火箭一样快速，快来微信扫码，体验免费刷题服务，开启你的学习加速器！