在 CSP-S 备考的 2 - 3 个月强化训练阶段，莫比乌斯反演是一个重要的专题，需要我们深入理解和掌握。
莫比乌斯函数 μ(n) 的定义是关键的第一步。对于一个正整数 n，其因数分解中若没有平方因子（即所有质因数的指数均为 1），则 μ(n) = (-1)^k ，其中 k 为 n 的不同质因数的个数；若存在平方因子，则 μ(n) = 0 。例如，6 = 2×3 ，没有平方因子，μ(6) = (-1)^2 = 1 ；而 12 = 2^2×3 ，有平方因子 2^2 ，所以 μ(12) = 0 。
反演公式的推导也是重点。从 f(n) = ∑g(d) 到 g(n) = ∑f(d)μ(n/d) 的推导过程需要我们仔细理解和反复练习。这个推导基于对函数关系的深入分析和数学变换。
典型例题如求互质对数，我们可以通过莫比乌斯反演来高效解决。假设要求 1 到 n 中与 m 互质的数的个数，我们可以先定义一个函数 f(d) 表示满足 gcd(x, m) = d 的 x 的个数，然后通过莫比乌斯反演求出最终结果。
在学习莫比乌斯反演时，要多做练习题，加深对概念和公式的理解。可以通过分析例题的解题思路，总结出通用的方法。同时，自己动手推导公式，有助于加深记忆和理解。
总之，莫比乌斯反演是 CSP-S 备考中的一个难点，但只要我们认真学习，多做练习，一定能够掌握并运用它来解决相关问题。
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