在信息学奥赛 CSP-S 备考的最后一个月冲刺阶段，计算几何是一个重要的考点。掌握好计算几何的相关知识和技巧，对于提高考试成绩有着关键作用。
一、点线面基本操作
1. 距离计算
- 两点之间的距离公式：对于平面上的两个点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ ，它们之间的距离为 $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ 。在代码实现中，可以直接使用数学库中的 sqrt 函数来计算平方根。
- 点到直线的距离：设直线 $Ax + By + C = 0$ ，点 $P(x_0, y_0)$ ，则点 $P$ 到直线的距离为 $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ 。
- 学习方法：通过大量的练习题来熟练掌握距离计算的公式和应用场景，注意处理边界情况和精度问题。
2. 夹角计算
- 向量夹角：若有向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$ 和 $\vec{b} = (x_2, y_2)$ ，它们的夹角 $\theta$ 的余弦值为 $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vert\vec{a}\vert \vert\vec{b}\vert} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$ 。
- 直线夹角：通过直线的斜率来计算夹角。
- 学习方法：理解向量夹角和直线夹角的定义和计算公式，结合图形进行分析，多做练习加深印象。
3. 投影计算
- 点在直线上的投影：先求出直线的方向向量，然后计算点与直线上一点的向量在直线方向向量上的投影。
- 学习方法：掌握投影的概念和计算方法，通过实际题目进行巩固。
二、多边形面积计算
1. 对于简单多边形，可以使用叉乘法计算面积。将多边形的顶点按顺序连接，依次计算相邻两个向量叉乘的一半，然后累加。
2. 对于复杂多边形，可以将其分割为多个简单多边形分别计算面积后再求和。
3. 学习方法：理解叉乘法的原理，通过编程实现面积计算的代码，并对不同类型的多边形进行练习。
三、凸包构建
凸包是计算几何中的一个重要概念。常见的凸包算法有 Graham 扫描法和 Andrew 算法。
1. Graham 扫描法：首先选择一个基准点，通常是纵坐标最小的点，然后按照极角排序其他点，最后通过栈来维护凸包的点。
2. Andrew 算法：按照 x 坐标从小到大排序，然后从左到右扫描构建下凸包，再从右到左扫描构建上凸包。
3. 学习方法：掌握两种算法的思路和实现细节，通过大量的测试数据来验证代码的正确性。
四、精度问题的处理
在计算几何中，由于涉及到浮点数运算，精度问题经常出现。可以使用通用的比较函数 dcmp 来封装精度比较。
const double EPS = 1e-8;
int dcmp(double x) {
if (fabs(x) < EPS) return 0;
else return x < 0 ? -1 : 1;
}
通过使用 dcmp 函数来进行数值比较，可以避免由于精度误差导致的错误。
总之，在最后的冲刺阶段，要熟练掌握计算几何的这些高频考点，并通过大量的练习和总结来提高解题能力和速度。同时，注意处理精度问题，保证代码的正确性和稳定性。
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