在 CSP-S 备考的最后一个月冲刺阶段，数学期望递推是一个重要的高频考点。理解和掌握这一知识点，对于解决相关问题至关重要。
数学期望递推通常涉及建立期望方程时的状态定义。比如，我们用 $E[i]$ 表示到达状态 $i$ 的期望步数。通过明确各个状态的期望值，我们能够逐步构建出解决问题的框架。
全期望公式在这个过程中发挥着关键作用。它可以帮助我们将复杂的期望问题分解为更简单的子问题。通过巧妙地运用全期望公式，我们能够将一个大问题拆解成若干个小问题，从而逐步求解。
以“马尔可夫链”为例来推导递推关系是常见的方法。马尔可夫链具有无记忆性，即未来的状态只取决于当前的状态，而与过去的状态无关。在解决相关问题时，我们可以根据马尔可夫链的性质，定义不同的状态，并建立状态之间的转移概率。
假设在一个特定的问题中，存在 $n$ 个状态，我们分别用 $S_1, S_2, \cdots, S_n$ 表示。对于每个状态 $S_i$，我们考虑从该状态出发，经过一步转移到其他状态的概率，以及转移到每个状态后对应的期望步数。
例如，从状态 $S_1$ 出发，转移到状态 $S_2$ 的概率为 $p_{12}$，转移到状态 $S_3$ 的概率为 $p_{13}$ ，以此类推。那么我们可以得到关于 $E[1]$ 的期望方程：
$$
E[1] = 1 + p_{12}E[2] + p_{13}E[3] + \cdots + p_{1n}E[n]
$$
其中，“1”表示当前这一步。
通过对每个状态都建立类似的期望方程，我们就得到了一个方程组。解这个方程组，就能得到各个状态的期望步数 $E[i]$ 。
在学习这个知识点时，要多做一些练习题，熟悉不同类型的问题和解题思路。同时，要注重理解状态的定义和转移概率的计算，这是正确建立期望方程的基础。
总之，在最后的冲刺阶段，要重点复习和掌握数学期望递推的相关内容，通过做题加深理解，提高解题能力，为 CSP-S 考试做好充分准备。
希望通过以上的总结和分析，能够帮助大家在备考中取得更好的成绩！
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