{数据结构强化 - 可持久化线段树：历史版本查询与节点共享策略}

在 CSP-J 的备考过程中，数据结构是不可或缺的一部分，而可持久化线段树作为一种高级数据结构，在处理“历史版本查询”问题中具有独特的优势。本文将介绍可持久化线段树的基本概念、应用场景以及节点共享机制与写时复制策略，并附上基础实现框架，帮助考生更好地理解和掌握这一知识点。

一、可持久化线段树简介

可持久化线段树，又称版本化线段树，是一种能够保存历史版本的线段树。传统的线段树在每次更新时都会覆盖原有的节点，而可持久化线段树则通过某种策略保留历史版本，使得我们可以在任意历史版本上进行查询操作。

二、历史版本查询

在许多实际问题中，我们需要查询某个历史版本的线段树状态。例如，在区间修改问题中，我们可能需要查询修改前的区间和。可持久化线段树通过保存每个历史版本的根节点，使得我们可以快速切换到任意历史版本进行查询。

三、节点共享机制与写时复制策略

为了实现可持久化，可持久化线段树采用了节点共享机制与写时复制策略。

1. 节点共享机制：在可持久化线段树中，当某个节点不需要修改时，我们直接复用历史版本的节点，而不是创建新的节点。这样可以大大减少空间消耗。

2. 写时复制策略：当某个节点需要修改时，我们才创建新的节点，并将修改后的值写入新节点。同时，新节点的其他子节点仍然指向历史版本的子节点，从而实现节点共享。

四、基础实现框架

以下是一个简单的可持久化线段树实现框架，供考生参考：

struct Node {
    int val;
    Node *left, *right;
    Node(int v = 0, Node *l = nullptr, Node *r = nullptr) : val(v), left(l), right(r) {}
};

Node* build(int l, int r) {
    if (l == r) return new Node();
    int mid = (l + r) >> 1;
    return new Node(0, build(l, mid), build(mid + 1, r));
}

Node* update(Node* root, int l, int r, int pos, int val) {
    if (l == r) return new Node(val);
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (pos <= mid) return new Node(root->val, update(root->left, l, mid, pos, val), root->right);
    else return new Node(root->val, root->left, update(root->right, mid + 1, r, pos, val));
}

int query(Node* root, int l, int r, int ql, int qr) {
    if (ql <= l && r <= qr) return root->val;
    int mid = (l + r) >> 1;
    int res = 0;
    if (ql <= mid) res += query(root->left, l, mid, ql, qr);
    if (qr > mid) res += query(root->right, mid + 1, r, ql, qr);
    return res;
}

五、总结

可持久化线段树是一种强大的数据结构，特别适用于需要查询历史版本的场景。通过节点共享机制与写时复制策略，可持久化线段树在保证查询效率的同时，大大减少了空间消耗。希望本文的介绍和实现框架能帮助考生更好地理解和掌握这一知识点，为 CSP-J 备考增添一份助力。

在备考过程中，考生可以通过练习相关题目来巩固对可持久化线段树的理解和应用。虽然 CSP-J 对这一知识点的考察要求不高，但掌握可持久化线段树对于提升算法竞赛水平具有重要意义。

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