强化阶段（第 3-4 个月）：多传感器融合框架 - 分布式卡尔曼滤波

在信息学奥赛 CSP-S 的备考过程中，强化阶段（第 3-4 个月）是一个关键的时期。特别是对于多传感器融合框架中的分布式卡尔曼滤波，这一知识点不仅复杂而且应用广泛。本文将详细介绍如何设计各传感器本地处理与中央融合的分层架构代码。

一、分布式卡尔曼滤波的基本概念

分布式卡尔曼滤波是一种用于多传感器系统的数据融合算法，它通过各个传感器的本地处理和中央融合来实现对系统状态的估计。其核心思想是将系统状态分解为多个局部状态，并在各个传感器上进行本地估计，最后通过中央融合得到全局状态估计。

在分布式卡尔曼滤波中，每个传感器首先进行本地状态估计。具体步骤如下：
- 状态预测：根据传感器的运动模型，预测当前时刻的状态。
- 公式：$x_{k|k-1} = F_k x_{k-1|k-1} + B_k u_k$
- 其中，$x_{k|k-1}$ 是状态预测值，$F_k$ 是状态转移矩阵，$B_k$ 是控制矩阵，$u_k$ 是控制输入。
- 测量更新：根据传感器的测量值，更新本地状态估计。
- 公式：$x_{k|k} = x_{k|k-1} + K_k (z_k - H_k x_{k|k-1})$
- 其中，$z_k$ 是测量值，$H_k$ 是测量矩阵，$K_k$ 是卡尔曼增益。

2. 中央融合

在各个传感器完成本地处理后，中央处理器将各个传感器的状态估计进行融合，得到全局状态估计。具体步骤如下：
- 状态融合：将各个传感器的状态估计值进行加权平均，得到全局状态估计。
- 公式：$x_{k|k} = \sum_{i=1}^n w_i x_{i,k|k}$
- 其中，$w_i$ 是第 $i$ 个传感器的权重，$x_{i,k|k}$ 是第 $i$ 个传感器的状态估计值。
- 协方差融合：将各个传感器的协方差矩阵进行融合，得到全局协方差矩阵。
- 公式：$P_{k|k} = \sum_{i=1}^n w_i (P_{i,k|k} + (x_{i,k|k} - x_{k|k})(x_{i,k|k} - x_{k|k})^T)$
- 其中，$P_{i,k|k}$ 是第 $i$ 个传感器的协方差矩阵。

三、代码实现

以下是一个简单的 Python 代码示例，展示了如何实现分布式卡尔曼滤波的分层架构：

import numpy as np

class Sensor:
    def __init__(self, F, H, Q, R):
        self.F = F  # 状态转移矩阵
        self.H = H  # 测量矩阵
        self.Q = Q  # 过程噪声协方差
        self.R = R  # 测量噪声协方差
        self.x = None  # 状态估计
        self.P = None  # 协方差矩阵

    def predict(self, u=None):
        if u is None:
            self.x = np.dot(self.F, self.x)
        else:
            self.x = np.dot(self.F, self.x) + np.dot(self.B, u)
        self.P = np.dot(np.dot(self.F, self.P), self.F.T) + self.Q

    def update(self, z):
        y = z - np.dot(self.H, self.x)
        S = np.dot(np.dot(self.H, self.P), self.H.T) + self.R
        K = np.dot(np.dot(self.P, self.H.T), np.linalg.inv(S))
        self.x = self.x + np.dot(K, y)
        self.P = self.P - np.dot(np.dot(K, self.H), self.P)

class CentralFusion:
    def __init__(self, sensors, weights):
        self.sensors = sensors
        self.weights = weights

    def fuse(self):
        x_fuse = np.zeros_like(self.sensors[0].x)
        P_fuse = np.zeros_like(self.sensors[0].P)
        for i, sensor in enumerate(self.sensors):
            x_fuse += self.weights[i] * sensor.x
            P_fuse += self.weights[i] * (sensor.P + np.outer(sensor.x - x_fuse, sensor.x - x_fuse))
        return x_fuse, P_fuse

# 示例使用
F = np.array([[1, 1], [0, 1]])
H = np.array([[1, 0]])
Q = np.eye(2) * 0.01
R = np.array([[1]])
sensor1 = Sensor(F, H, Q, R)
sensor2 = Sensor(F, H, Q, R)

# 本地处理
sensor1.predict()
sensor1.update(np.array([1.1]))
sensor2.predict()
sensor2.update(np.array([0.9]))

# 中央融合
fusion = CentralFusion([sensor1, sensor2], [0.5, 0.5])
x_fuse, P_fuse = fusion.fuse()
print("Fused State Estimate:", x_fuse)
print("Fused Covariance Matrix:", P_fuse)