说说什么是跳表？

分析&回答

跳表全称为跳跃列表，它允许快速查询，插入和删除一个有序连续元素的数据链表。跳跃列表的平均查找和插入时间复杂度都是O(logn)。快速查询是通过维护一个多层次的链表，且每一层链表中的元素是前一层链表元素的子集（见下面的示意图）。一开始时，算法在最稀疏的层次进行搜索，直至需要查找的元素在该层两个相邻的元素中间。这时，算法将跳转到下一个层次，重复刚才的搜索，直到找到需要查找的元素为止。

跳表具体有多快

按照上面的数据结构，Example: Search for 72

• Level 1: 14 too small, 79 too big; go down 14
• Level 2: 14 too small, 50 too small, 79 too big; go down 50
• Level 3: 50 too small, 66 too small, 79 too big; go down 66
• Level 4: 66 too small, 72 spot on

跳表的查询任意数据的时间复杂度为 O(2*log(n))，前边的常数 2 可以忽略，为 O(log(n))。

如果一个链表有 n 个结点，如果每两个结点抽取出一个结点建立索引的话，那么第一级索引的结点数大约就是 n/2，第二级索引的结点数大约为 n/4，以此类推第 m 级索引的节点数大约为 n/(2^m)。

假如一共有 m 级索引，第 m 级的结点数为两个，通过上边我们找到的规律，那么得出 n/(2^m)=2，从而求得 m=log(n)-1。如果加上原始链表，那么整个跳表的高度就是 log(n)。我们在查询跳表的时候，如果每一层都需要遍历 k 个结点，那么最终的时间复杂度就为 O(k*log(n))。

跳表是用空间来换时间

跳表的效率比链表高了，但是跳表需要额外存储多级索引，所以需要的更多的内存空间。

跳表的空间复杂度分析并不难，如果一个链表有 n 个结点，如果每两个结点抽取出一个结点建立索引的话，那么第一级索引的结点数大约就是 n/2，第二级索引的结点数大约为 n/4，以此类推第 m 级索引的节点数大约为 n/(2^m)，我们可以看出来这是一个等比数列。

这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2，所以跳表的空间复杂度为 o(n)。

那么我们有没有办法减少索引所占的内存空间呢？可以的，我们可以每三个结点抽取一个索引，或者没五个结点抽取一个索引。这样索引结点的数量减少了，所占的空间也就少了。

反思&扩展

跳表的代码实现

import java.util.Random;

/**
 * 跳表的一种实现方法。
 * 跳表中存储的是正整数，并且存储的是不重复的。
 */
public class SkipList {

    private static final int MAX_LEVEL = 16;

    private static final float SKIPLIST_P = 0.5f;

    private int levelCount = 1;

    private Node head = new Node();  // 带头链表

    private Random r = new Random();

    public Node find(int value) {
        Node p = head;
        for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
            while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
                p = p.forwards[i];
            }
        }

        if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) {
            return p.forwards[0];
        } else {
            return null;
        }
    }

    public void insert(int value) {
        int level = randomLevel();
        Node newNode = new Node();
        newNode.data = value;
        newNode.maxLevel = level;
        Node update[] = new Node[level];
        for (int i = 0; i < level; ++i) {
            update[i] = head;
        }

        // record every level largest value which smaller than insert value in update[]
        Node p = head;
        for (int i = level - 1; i >= 0; --i) {
            while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
                p = p.forwards[i];
            }
            update[i] = p;// use update save node in search path
        }

        // in search path node next node become new node forwords(next)
        for (int i = 0; i < level; ++i) {
            newNode.forwards[i] = update[i].forwards[i];
            update[i].forwards[i] = newNode;
        }

        // update node hight
        if (levelCount < level) levelCount = level;
    }

    public void delete(int value) {
        Node[] update = new Node[levelCount];
        Node p = head;
        for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
            while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
                p = p.forwards[i];
            }
            update[i] = p;
        }

        if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) {
            for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
                if (update[i].forwards[i] != null && update[i].forwards[i].data == value) {
                    update[i].forwards[i] = update[i].forwards[i].forwards[i];
                }
            }
        }
    }

    // 理论来讲，一级索引中元素个数应该占原始数据的 50%，二级索引中元素个数占 25%，三级索引12.5% ，一直到最顶层。
    // 因为这里每一层的晋升概率是 50%。对于每一个新插入的节点，都需要调用 randomLevel 生成一个合理的层数。
    // 该 randomLevel 方法会随机生成 1~MAX_LEVEL 之间的数，且 ：
    //        50%的概率返回 1
    //        25%的概率返回 2
    //      12.5%的概率返回 3 ...
    private int randomLevel() {
        int level = 1;

        while (Math.random() < SKIPLIST_P && level < MAX_LEVEL)
            level += 1;
        return level;
    }

    public void printAll() {
        Node p = head;
        while (p.forwards[0] != null) {
            System.out.print(p.forwards[0] + " ");
            p = p.forwards[0];
        }
        System.out.println();
    }

    public class Node {
        private int data = -1;
        private Node forwards[] = new Node[MAX_LEVEL];
        private int maxLevel = 0;

        @Override
        public String toString() {
            StringBuilder builder = new StringBuilder();
            builder.append("{ data: ");
            builder.append(data);
            builder.append("; levels: ");
            builder.append(maxLevel);
            builder.append(" }");

            return builder.toString();
        }
    }

}

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