已知非齐次线性方程组
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简答题
（1）a为何值时，对应齐次线性方程组解空间的维数为2？
（2）对应（1）中确定的a值，求该非齐次线性方程组的通解。
（1）a为何值时，对应齐次线性方程组解空间的维数为2？
（2）对应（1）中确定的a值，求该非齐次线性方程组的通解。
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答案：
【解析】本题主要考查线性方程组。
解析：
本题主要考查线性方程组的相关知识。
对于齐次线性方程组，其解空间的维数等于其基础解系所含向量的个数。基础解系是齐次线性方程组的一组线性无关的解向量。
对于非齐次线性方程组，其通解可以表示为齐次线性方程组的通解加上一个特解。
（1）当a=0时，对应的齐次线性方程组为：
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x_1 - x_2 = 0 \\
x_2 + x_3 = 0 \\
\end{array}
\right.
$$
这是一个二元一次方程组，解空间维数为2，所以对应的齐次线性方程组解空间的维数也为2。
（2）当a=0时，非齐次线性方程组为：
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x_1 - x_2 = 2 \\
x_2 + x_3 = 0 \\
\end{array}
\right.
$$
首先，找到该方程组的特解。令$x_2 = 0$，$x_3 = 0$，解得$x_1 = 2$，所以特解为：
$$
\left(
\begin{array}{c}
2 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right)
$$
然后，找到对应的齐次线性方程组的通解。对应的齐次线性方程组为：
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x_1 - x_2 = 0 \\
x_2 + x_3 = 0 \\
\end{array}
\right.
$$
基础解系为：
$$
\left\{
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0 \\
\end{array}
\right\}
$$
和
$$
\left\{
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1 \\
\end{array}
\right\}
$$
所以，该非齐次线性方程组的通解为：
$$
x_1 = \left(
\begin{array}{c}
2 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right)
+ k_1 \left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0 \\
\end{array}
\right)
+ k_2 \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1 \\
\end{array}
\right)
$$
其中，$k_1$和$k_2$为任意常数。
创作类型：
原创
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