【喵呜刷题小喵解析】本题考查函数在某点连续的定义。根据函数在某点处连续的定义,选项A符合定义,即在$x=a$处连续。选项B、C、D中的函数在$x=a$处或者没有定义,或者左右极限不相等,或者极限不存在,因此不连续。所以正确答案是A。