求证：非齐次线性方程组
：有唯一解，当且仅当向量
线性无关。
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简答题
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答案：
考查线性相关相关知识
解析：
本题主要考查了线性相关和线性无关的概念，以及非齐次线性方程组有唯一解的条件。
首先，根据线性无关的定义，如果向量组$\vec{\alpha}_{1},\vec{\alpha}_{2},...,\vec{\alpha}_{n}$线性无关，那么齐次线性方程组$Ax=0$只有零解。
对于非齐次线性方程组$Ax=b$，如果它无解，那么方程组的增广矩阵的秩$r(\overset{―}{A})$小于系数矩阵的秩$r(A)$，这与$r(A)=n$矛盾，所以非齐次线性方程组$Ax=b$有解。
又因为向量组$\vec{\alpha}_{1},\vec{\alpha}_{2},...,\vec{\alpha}_{n}$线性无关，所以齐次线性方程组$Ax=0$只有零解，从而非齐次线性方程组$Ax=b$有唯一解。
反之，如果非齐次线性方程组$Ax=b$有唯一解，那么齐次线性方程组$Ax=0$只有零解，即向量组$\vec{\alpha}_{1},\vec{\alpha}_{2},...,\vec{\alpha}_{n}$线性无关。
综上，我们证明了非齐次线性方程组$Ax=b$有唯一解，当且仅当向量组$\vec{\alpha}_{1},\vec{\alpha}_{2},...,\vec{\alpha}_{n}$线性无关。
创作类型：
原创
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