解答题
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简答题
叙述并证明拉格朗日微分中值定理，并简述拉格朗日中值定理与中学数学内容的联系。
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答案：
【解析】本题考查微分学基本定理。
解析：
拉格朗日微分中值定理是微积分中的一个基本定理，也是分析学中的一个重要工具。它提供了在闭区间上连续、在开区间上可导的函数在其定义域内至少存在一点，使得该点的导数值等于函数值的增量与自变量增量的比值。
在证明过程中，我们构造了一个新的函数F(x)，该函数在区间端点取值为0。然后，我们利用罗尔定理，证明存在至少一个ξ∈(a,b)，使得F'(ξ)=0。最后，我们利用导数的定义和F'(x)的表达式，证明了拉格朗日微分中值定理。
拉格朗日中值定理与中学数学内容的联系主要体现在函数单调性、极值等概念上。这些概念在中学阶段就已经有所涉及，而拉格朗日中值定理可以用来研究这些概念的性质。此外，拉格朗日中值定理还可以应用于解决一些实际问题，例如求函数的平均值等。因此，拉格朗日中值定理是中学数学与微积分学之间的一座桥梁，它有助于我们更好地理解数学中的基本概念和定理。
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