设A是一个 m×n矩阵，证明:矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。
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简答题
设A是一个m×n 矩阵，证明:矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。
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答案：
解析：
该证明的关键在于理解矩阵的行空间和列空间的关系。首先，行空间是由矩阵的行向量构成的子空间，而列空间是由矩阵的列向量构成的子空间。
然后，我们构造一个新的矩阵B，将矩阵A的每一行视为列向量，这样矩阵B的列空间的一组基就是矩阵A的行空间的一组基。由于矩阵B的列空间的一组基为α1,α2,...,αr，所以B的列空间维数为r，即矩阵A的行空间维数。
接下来，我们证明矩阵A的列空间维数不大于r。因为矩阵A的列空间的一组基可以由矩阵A的行向量线性表示，所以矩阵A的列空间维数不大于r。
最后，根据矩阵的秩的定义，矩阵A的秩等于其行空间维数，也等于其列空间维数，所以r等于矩阵A的列空间维数。
因此，我们证明了矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。
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