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简答题
4.最短路
给定一个n个点, m条边的有向图, 求从点S出发, 到其它所有点的最短路径.
时间限制：2000
内存限制：65536
输入
第一行一个整数T, 表示有T组数据 对于每组测试数据, 第一行三个整数n, m, S, 表示有n个点, m条边, 起点为S. 接下来m行, 每行三个整数x, y, z, 代表从x到y有长度为z的边 点的编号从1到n T <= 10, n <= 10000, m <= 20000, |z| <= 10000. 所有数据的n之和 <= 30000, 所有数据的m之和 <= 60000.输出
对于每组数据: 如果从S点出发可以走入负圈 (即到某些点的最短路径可以无限小), 那么输出一行Error. 否则, 输出一行用空格分隔的n个整数, 其中第i个整数表示从S点到i点的最短路长度. 如果从S点无法到达i点, 则第i个输出为”null”.
样例输入
```
4
5 7 1
1 2 3
2 3 4
3 4 8
1 3 9
4 5 1
1 4 5
1 5 10
4 4 1
1 2 -4
2 3 8
1 3 5
3 4 0
3 3 2
1 2 -3
2 3 -4
3 1 6
4 2 1
1 2 1
3 4 2
```
样例输出
```
0 3 7 5 6
0 -4 4 4
Error
0 1 null null
```
给定一个n个点, m条边的有向图, 求从点S出发, 到其它所有点的最短路径.
时间限制：2000
内存限制：65536
输入
第一行一个整数T, 表示有T组数据 对于每组测试数据, 第一行三个整数n, m, S, 表示有n个点, m条边, 起点为S. 接下来m行, 每行三个整数x, y, z, 代表从x到y有长度为z的边 点的编号从1到n T <= 10, n <= 10000, m <= 20000, |z| <= 10000. 所有数据的n之和 <= 30000, 所有数据的m之和 <= 60000.输出
对于每组数据: 如果从S点出发可以走入负圈 (即到某些点的最短路径可以无限小), 那么输出一行Error. 否则, 输出一行用空格分隔的n个整数, 其中第i个整数表示从S点到i点的最短路长度. 如果从S点无法到达i点, 则第i个输出为”null”.
样例输入
```
4
5 7 1
1 2 3
2 3 4
3 4 8
1 3 9
4 5 1
1 4 5
1 5 10
4 4 1
1 2 -4
2 3 8
1 3 5
3 4 0
3 3 2
1 2 -3
2 3 -4
3 1 6
4 2 1
1 2 1
3 4 2
```
样例输出
```
0 3 7 5 6
0 -4 4 4
Error
0 1 null null
```
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答案：
解析：
本题要求求解从起点S到所有点的最短路径，可以使用Dijkstra算法来求解。Dijkstra算法是一种求解单源最短路径问题的经典算法，适用于边权非负的有向图。
对于每组数据，首先使用Dijkstra算法求出从起点S到所有点的最短路径。在求解过程中，如果发现存在负圈，即存在从S点出发可以走入负圈的情况，则输出"Error"。否则，输出从S点到每个点的最短路径长度。如果无法从S点到达某个点，则输出"null"。
由于输入数据较大，需要使用高效的算法来求解。Dijkstra算法的时间复杂度为O((V+E)logV)，其中V为顶点数，E为边数。由于本题中V和E都较大，因此需要优化算法以提高效率。可以使用堆来优化Dijkstra算法，将时间复杂度降低到O(ElogV)。
在求解过程中，需要记录每个点的最短路径长度和最短路径的来源点。对于每个点，记录其最短路径长度和最短路径的来源点，以便在求解过程中更新最短路径。
最后，按照题目要求输出从S点到每个点的最短路径长度。如果无法从S点到达某个点，则输出"null"。
创作类型：
原创
本文链接：4.最短路给定一个n个点, m条边的有向图, 求从点S出发, 到其它所有点的最短路径.时间限制：20
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