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简答题

走楼梯

题目描述:

一段楼梯共有n 阶,小明每次最少走1 阶,最多走k 阶,请问小明共有多少种不同的走法可以走完这n 阶楼梯。

例如:n = 4,k = 2;楼梯共有4 阶,小明每次最多走2 阶;

有如下走法:

第一种:第一次走1 阶,第二次走1 阶,第三次走1 阶,第四次走1 阶;

第二种:第一次走1 阶,第二次走1 阶,第三次走2 阶;

第三种:第一次走1 阶,第二次走2 阶,第三次走1 阶;

第四种:第一次走2 阶,第二次走1 阶,第三次走1 阶;

第五种:第一次走2 阶,第二次走2 阶。

所以小明共有5 种不同的走法可以走完4 阶楼梯。

输入描述:

一行输入两个整数n(1≤n≤5000)和k(1≤k≤10),分别表示这段楼梯的阶数及每

次最多可以走的楼梯阶数,整数之间以一个空格隔开

输出描述:

输出一个整数,表示小明走完 n 阶楼梯共有多少种不同的走法


样例输入:

4 2

样例输出:

5

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答案:

根据题目描述,这是一个经典的动态规划问题。可以使用动态规划算法来解决。首先,定义dp数组,dp[i]表示走完前i阶楼梯的不同走法数量。然后,对于每一阶楼梯,考虑从前面第几阶跨过来。假设从第j阶跨过来,那么dp[i]就等于dp[i-j-1]加上从第j+1阶跨过来的走法数量,其中j的取值范围是max(0, i-k)到i-1。最后,遍历完所有阶数后,dp[n]就是走完n阶楼梯的不同走法数量。

解析:

【喵呜刷题小喵解析】:
这个问题是一个经典的动态规划问题,可以使用动态规划算法来解决。动态规划算法是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式来求解复杂问题的方法。在这个问题中,我们定义dp数组来记录走完前i阶楼梯的不同走法数量,然后通过递推的方式计算出dp[n],即走完n阶楼梯的不同走法数量。

具体来说,对于每一阶楼梯,我们需要考虑从前面第几阶跨过来。假设从第j阶跨过来,那么dp[i]就等于dp[i-j-1]加上从第j+1阶跨过来的走法数量。这里,j的取值范围是max(0, i-k)到i-1,因为每次最多走k阶楼梯。

最后,我们遍历完所有阶数后,dp[n]就是走完n阶楼梯的不同走法数量。因此,我们只需要输出dp[n]即可。

需要注意的是,这个问题也可以使用递归的方式来解决,但是递归的方式会有重复计算的问题,导致时间复杂度较高。而动态规划的方式则可以通过记录已经计算过的子问题的解,避免了重复计算,从而提高了效率。
创作类型:
原创

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