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简答题

有一张 m×n 个小方格的地图，一个机器人位于地图的左上角（如图标记为 Start 的地方），它每步只能向右或者向下移动一格，如果走到右下角的终点（如图标记为 Finish 的地方），有多少种不同的方法？

例如，一个 3×2 的地图，方法数是 3 种，分别是：

右 → 右 → 下

右 → 下→ 右

下 → 右 → 右

输入格式

两个整数 m(m <100)和 n(n < 100)，代表地图的行数和列数

输出格式

一个整数，表示方法数


样例输入

3 2

样例输出

3

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答案：

根据题目，我们可以使用组合数学中的卡特兰数来解决这个问题。卡特兰数的一般公式为 C(n, 2k) - C(n-1, 2k-1)，其中 n = m + n，k = min(m, n)。对于给定的地图，其行数为 m，列数为 n。由于机器人每步只能向右或者向下移动，所以其总的步数应为 m + n。我们需要计算从 (m+n) 步中选出 k 步向右，其余 (m+n-k) 步向下的组合数，其中 k 的取值范围是 [0, min(m, n)]。因此，方法数可以通过卡特兰数的公式计算，即 C(m+n, 2k) - C(m+n-1, 2k-1)，其中 k 的取值范围是 [0, min(m, n)]。

解析：

【喵呜刷题小喵解析】：
这个问题是一个经典的组合数学问题，可以使用卡特兰数来解决。卡特兰数是一种特殊的组合数，它的定义和性质使得它适用于解决一些特定的问题，比如这个机器人路径问题。

在这个问题中，机器人从地图的左上角走到右下角，每步只能向右或者向下移动。我们可以将机器人的移动路径看作是从 (0, 0) 到 (m, n) 的一个格点路径。由于机器人每步只能向右或者向下移动，所以其总的步数应为 m + n。

我们需要计算从 (m+n) 步中选出 k 步向右，其余 (m+n-k) 步向下的组合数，其中 k 的取值范围是 [0, min(m, n)]。这个组合数可以通过卡特兰数的公式计算，即 C(m+n, 2k) - C(m+n-1, 2k-1)。

具体实现时，我们需要遍历 k 的取值范围，对于每个 k 值，计算卡特兰数公式中的两个组合数，然后将它们相减得到方法数。最后，将所有方法数累加起来，即为最终的方法数。

需要注意的是，由于 m 和 n 的取值范围较小（m < 100, n < 100），我们可以直接计算组合数，而不需要使用动态规划等优化算法。
创作类型：
原创

本文链接：有一张 m×n 个小方格的地图，一个机器人位于地图的左上角（如图标记为 Start 的地方），它每步

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