小于等于 30000 的正整数中，与 30000 互质的正整数有 ( ) 个
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单选题
A
8000
B
8500
C
6000
D
9000
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答案：
解析：
首先，我们需要明确互质数的定义：两个正整数，如果它们的最大公约数（GCD）是1，则它们被称为互质数。
对于本题，我们需要找出小于等于30000的正整数中，与30000互质的正整数有多少个。
我们可以使用容斥原理来解决这个问题。容斥原理的基本思想是通过两个集合各自的元素个数和它们的交集个数来计算它们的并集个数。
在这里，我们可以将小于等于30000的正整数分为若干个集合，每个集合中的元素都与30000有相同的质因数。例如，我们可以将小于等于30000的正整数分为与30000有相同质因数2、3、5等的集合。
然后，我们可以计算每个集合中元素的个数，以及它们的交集个数。最后，根据容斥原理，我们可以计算出与30000互质的正整数的个数。
具体来说，小于等于30000的正整数中，与30000有相同质因数2、3、5等的集合的元素个数分别为：
- 与30000有相同质因数2的集合的元素个数为：$ \left\lfloor \frac{30000}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{30000}{2^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{30000}{2^3} \right\rfloor + ... = 15000 + 7500 + 3750 + 1875 + 937 + 468 + 234 + 117 + 58 + 29 + 14 + 7 + 3 + 1 = 30000$
- 与30000有相同质因数3的集合的元素个数为：$ \left\lfloor \frac{30000}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{30000}{3^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{30000}{3^3} \right\rfloor + ... = 10000 + 3333 + 1111 + 370 + 123 + 41 + 13 + 4 + 1 = 15000$
- 与30000有相同质因数5的集合的元素个数为：$ \left\lfloor \frac{30000}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{30000}{5^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{30000}{5^3} \right\rfloor + ... = 6000 + 1200 + 240 + 48 + 9 + 1 = 7249$
由于这些集合之间有交集，我们需要使用容斥原理来消除重复计算的部分。最终，我们可以计算出与30000互质的正整数的个数为：
$30000 - 15000 - 15000 + 7249 = 7249$
因此，小于等于30000的正整数中，与30000互质的正整数有7249个。
对比选项，我们发现只有选项B的8500接近7249，因此正确答案是B。
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