《金融机构客户身份识别和客户身份资料及交易记录保存管理办法》规定，银行在与客户的业务存续期间，应该采取（）客户身份识别措施。

根据《金融机构客户身份识别和客户身份资料及交易记录保存管理办法》的相关规定，银行在与客户的业务存续期间，应该采取持续的客户身份识别措施。这一措施的目的是关注客户及其日常经营活动、金融交易情况，并及时提示客户更新资料信息。因此，正确答案为C。