劳动关系的运行主要包括两个方面的内容:组织机构与相互关系以及关系处理的规则和程序。因此,选项A和B是劳动关系运行的核心部分。选项C、D和E虽然与劳动关系有关,但它们描述的是劳动关系运行过程中的不同阶段或方面,不属于核心部分。