出现专用合同条款规定的异常恶劣气候条件导致工期延误时，承包人有权向发包人提出何种要求？

根据题干所述，由于出现专用合同条款规定的异常恶劣气候条件导致工期延误的，承包人有权要求发包人延长工期。这是因为恶劣气候条件是不可预见、不可避免的，属于不可抗力因素，因此承包人可以要求延长工期以应对这种特殊情况。其他选项如支付合理利润、支付违约金和增加费用，并不是针对这种情况的常规处理方式。因此，正确答案是A。