用洛必达法则求极限：

首先，我们需要将原极限转化为一个可以应用洛必达法则的形式。原极限可以表示为 $\lim_{{x \to 0}} \frac{\ln(x + 2) - \ln(x)}{\ln(x + 2)}$。接着，应用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到 $\lim_{{x \to 0}} \frac{\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x}}{\frac{1}{x + 2}}$。简化后得到 $\lim_{{x \to 0}} \frac{x - (x + 2)}{(x + 2)^2}$。继续化简，得到 $\lim_{{x \to 0}} \frac{-2}{(x + 2)^2}$。最后，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，这个极限的值就是 $- \frac{1}{4}$ 与 $- \frac{1}{4}$ 的乘积，即 $1$。