由级数收敛的定义，我们知道级数收敛意味着其部分和序列有极限。因此，选项B是正确的，因为收敛的级数其部分和序列必定有极限。选项C描述的是级数发散的性质，与收敛的定义相矛盾，所以C不正确。对于选项A，极限存在的数列并不意味着极限为0，因此A不正确。对于选项D，极限存在的数列也并不一定为单调数列，所以D也不正确。