根据题目给出的级数形式，这是一个不缺项的等差数列，其中每一项与前一项的差为常数，即等差数列的公差。题目中给出第一项 $a_1 = 1$，且下一项 $a_{n+1} = 1$（与第一项相同），这意味着这是一个常数列，公差为 $d = 0$。因此，该级数的通项公式为 $a_n = a_1 = 1$。所以答案为 A。