The teacher told the class to__________their books．

根据句意，老师要求学生们收起书本。选项A中的短语put away意为“收起”，符合句意。选项B中的短语put up意为“张贴”，与句意不符。选项C中的短语put on意为“穿上”，也与句意不符。选项D中的短语put by意为“放置备用”，也与句意不符。因此，正确答案为A。