{ "question": "①计算由曲线y=x^2（x≥0），直线y=1和x轴围成的平面图形的面积S。②求上述平面图形绕Y轴旋转一周得到的旋转体的体积Vy。", "选项": "无需提供选项", "题型": "计算题" }

①首先，我们需要求出曲线y=x^2（x≥0），y=1与x=0所围成的平面图形的面积S。这个面积可以通过计算两个函数之间的面积差得到。我们先找到这两个函数的交点，即解方程y=x^2和y=1，得到交点的x坐标为1。因此，面积S可以通过积分求出，积分区间为[0,1]，公式为：
S = ∫(x^2 - 1) dx（在区间[0,1]上）
经过计算，我们得到S = (x^3/3 - x)|0,1 = ⅓ - ⅛ = ⅛ 或约等于π/3。因此平面图形的面积S为π/3。
②接下来，我们需要求出这个平面图形绕Y轴旋转一周得到的旋转体的体积Vy。旋转体的体积可以通过计算旋转体的体积公式πr²h求出，其中r为半径，h为高。由于平面图形绕Y轴旋转，所以半径r为平面图形的横坐标值，高h为平面图形的纵坐标值。因此，旋转体的体积公式变为：
Vy = π∫x² dx（在区间[0,1]上）
经过计算，我们得到Vy = π[(x³/3)|0,1] = π/6。因此旋转体的体积Vy为π/6。