求函数z=x²+2y²+4x-8y+2的极值．

首先，将函数$z = x^{2} + 2y^{2} + 4x - 8y + 2$进行配方处理，得到完全平方的形式。具体来说，可以将$x^{2} + 4x$和$2y^{2} - 8y$分别配方为$(x + 2)^{2} - 4$和$(y - 2)^{2} - 4$。这样，函数可以重写为：
z = (x + 2)^2 + 2(y - 2)^2 - 10。
这是一个开口向上的二次函数形式，因为二次项的系数为正数。根据二次函数的性质，当x和y取极值时，函数取得极值。由于这是一个开口向上的二次函数，所以当x和y取最小值时，函数取得极小值。根据配方后的形式，我们可以得知，当x=-2且y=2时，函数z取得极小值，即z(-2, 2)=-10。